L'évolution de nombreux systèmes peut être convenablement décrite par un
ensemble d'équations différentielles ordinaires. Mais la plupart du temps, ces
équations ne sont pas intégrables et on doit étudier chaque solution en consi-
dérant la trajectoire dans l'espace des phases. Comme cela s'avère très fré-
quemment irréalisable, on simplifie au maximum cette tâche en faisant appel
à une méthode mise au point par Henri Poincaré. Plutôt que d'étudier la solu-
tion d'un système d'équations à trois variables par exemple, on observe les
points d'intersection de la trajectoire avec un plan. Ce plan de coupe peut, en
principe, être quelconque mais un choix judicieux permet souvent d'obtenir
des sections aisément exploitables. A partir d'une condition initiale, on ob-
tient ainsi un ensemble de points formant la section ou coupe de Poincaré,
c'est-à-dire une carte à deux dimensions. La transformation qui conduit d'un
point au suivant est une application continue f du plan dans lui-même. La
section de Poincaré présente les mêmes propriétés que le système d'équations
qui lui a donné lieu. Si le système possède un attracteur par exemple, les ca-
ractéristiques structurales de ce dernier se retrouvent dans la section de Poin-
caré.
La méthode de Poincaré présente un grand intérêt pratique: elle permet de
passer d'un système d'équations différentielles dans R