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Généralités sur la description mécanique des crises.
Par Catherine Bodeau-Pean Ostermann.
Tout se passe comme si les sciences humaines et sociales ne comportaient pas -excepté peut-
être l’économie- d’outils propres à modéliser les phénomènes pour rendre l’analyse d’un seul
applicable à des cas similaires mais différents.
Les sciences dures fournissent ce langage approprié pour déterminer des lois de
comportement d’un système social en crise et prédire son évolution.
La mécanique, au sens large, présente :
- des lois du mouvement des Corps,
- des notions de stabilité et d’instabilité (thermodynamique linéaire, dont la loi de dégradation
de l’énergie ; chaos : cycles, attracteurs, attracteur de Hénon, bassins d’attraction ; anneaux de
Moêbius). La physique nucléaire apporte aussi des notions qui seront utilisées dans la
description et dans la tentative de modélisation des évènements accidentels très graves.
Mes apports, synthétisés sur mon site web (
1
), rubrique "Modèles de la crise et applications
aux éléments concrets de terrain" présentant un système en crise comme « passant » par trois
stades successifs : réaction, extension et, enfin, convergence seront la base sur laquelle
reposeront les comparaisons avec le fonctionnement, l’évolution des systèmes physiques.
***
Les lois de Newton énoncent une théorie de la mécanique classique décrivant le mouvement
corpusculaire.
La première loi énonce qu’un objet qui ne se déplace pas continuera à ne pas se déplacer. La
seconde Loi énonce que la force sur un objet est égale au produit de sa masse et de son
accélération (plus la masse est importante, plus la force pour assurer l’accélération est
grande). La troisième Loi énonce que, si on exerce une force de 200 sur un objet, alors, l’objet
exerce une pression de 200 (en réaction).
Les crises sont considérées comme des objets, soumis à des forces, ayant une masse et
subissant une accélération.
1. Principe d’inertie.
La Loi d’inertie, première Loi de Newton, s’applique à des situations de crise. En effet, les
process industriels, fruits de l’expérience de collectifs humains organisés, ne seront pas
modifiés si on n’exerce aucune pression sur eux visant à remettreen cause le déroulement
classique de ceux-ci. Une remarque, à ce propos : il faut déployer une forceau moins égale à
l’inertie du process pour que le système bouge, si c’est une pression interne au système qui
tente de le faire bouger alors que, si la pression provient de l’extérieur, elle peut être plus
légère (revient-on alors aux limites de la seconde Loi généralisées à toutes les forces, y
compris celles provenant de l’extérieur ? je pense qu’appliquée à un process humain, la
distinction entre force exercée par l’extérieur et force provenant de l’intérieur doit être faîte.

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Peut-être trouver des présupposés plus proches de ce qu’on veut décrire dans la phase de
réaction dans la physique du noyau.
1.1. Fusion et fission : laquelle est la plus adaptée pour représenter ce qui brise l’inertie du
système ?
Distinction entre fusion et fission : on sait que l’énergie dégagée par la fusion est
exponentielle à celle dégagée par une fission. Or, l’une des distinctions entre les deux
mécanismes est que la fusion est assimilation d’un noyau par l’autre, alors que la fission ne
décrit pas d’assimilation complète entre deux corps qui conservent leurs identités propres. Le
mécanisme génère de l’énergie alors que pendant la fusion, à la fois le mécanisme et les corps
physiques dégagent de l’énergie. Une constante pour ce qui est de l’énergie dégagée par le
mécanisme de fusion (c’est à dire qu’elle adopte desvaleurs similaires à celles de la fission)
mais les corps physiques dégagent des valeurs d’énergie bien supérieures à leurénergie
intrinsèque. Ces notions de physique nucléaire s’appliquent à la crise. En effet, fréquemment,
on estime que l’échelle de certains évènements dépasse de beaucoup ce que l’esprit humain
peut concevoir. Ainsi, au-delà de seuils, on n’envisageplus de situations. Par exemple, les
expérimentations dans le domaine nucléaire, faîtes notamment sur un mini-réacteur
expérimental français, recouvrent des seuils de température et de pression très grands mais le
cas limite d’une part de maintien de ces valeurs-limites pendant très longtemps n’est jamais
simulé, du fait de la résistance physique des matériaux –qui est limitée- mais aussi, car cette
restriction n’empêche pas de faire des simulations informatisées au-delà de ces seuils-limites,
aussi donc peut-être du fait des mécanismes de défense que l’on bâtit tous lorsqu’il nous est
demandé de travailler sur des scénarii qui mettent en scène notre propre fin. J’avoue en avoir
souffert. Mais cette souffrance n’empêche pas ma lucidité : en les envisageant, on peut mettre
en place des mécanismes de protection pertinents et efficaces. La simulation d’accidents
extrêmes poursuit cet objectif. Ainsi, il faut ouvrir l’esprit humain à envisager ces cas-
extrêmes, plutôt que de stopper le progrès humain, comme le proposent certains groupes
écologistes. En vertu des Lois de la complexité, stopper notre exposition aux risques
industriels ne conduirait qu’à augmenter notre exposition à d’autres sources de risques. Ouvrir
notre conception et accepter l’émergence de ce type de risques est donc un moyen de nous
protéger, à terme, contre l’émergence des risques au sensgénéral du terme.
2. Loi de composition des forces.
Comme l’énonce la seconde Loi, la masse et l’accélération augmentent simultanément.
Process de nature généralisable. Lire les évènements accidentels majeurs sous ce filtre
invariant, en quelque sorte, transposition de la lecture des valeurs de deux paramètres qui sont
toujours comparables comme celles de la masse et de l’accélération, représente les prémisses
de la construction de la théorie des systèmes en crise. En phase de réaction, le système
s’étend. Là, l’étude de la mécanique classiquenous donne des éléments. En revanche, quant à
la mesure de l’ampleur de la réaction, en plus de la physique nucléaire, qui envisage des cas
extrêmes similaires aux crises, peut-on puiser dans la dynamique mécanique d’objets
physiques ? Le système en crise décrit trois mouvements successifs : une phase de réaction,
une phase d’extension et une phase de convergence des trajectoires vers une trajectoire
commune. Le système n’est pas linéaire. La mécanique classique est inopérante mais cela
vaut la peine de tenter de décrire des règles thermodynamiques non linéaires. Dans des
situations où la production de paramètres généralisés est très utile, l’évolution non-linéaire des
systèmes, les théorèmes appliqués aux systèmes linéaires ne s’appliquent plus (notamment

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second principe et équilibre local qui permettaient de ramener équations non-linéaires simples
à des systèmes auxquels on pouvait attribuerune solution bien définie).
Les grands principes thermodynamique linéaire :
- relations de réciprocité (Lij=Lji)
- théorème de production d’entropie, eux non plus, ne s’appliquent pas.
Mais il faut les citer car ils sont une base de compréhension pour ceux qui interviennent
effectivement dans le « décryptage» des situations de crise. Si on ne peut le ramener à un
système linéaire, on peut décrire le système autrement : cycles, production d’entropie d’excès,
fonctions de Liapounov, décrivent des stabilités pour des systèmes instables. Il y a assymétrie
entre les coefficients phénoménologiques, et pas de relation de réciprocité. La seule manière
de décrire le comportement d’un système instable par nature et de parvenir à généraliser la
description de son fonctionnement est de mettre en exergue des « convergences » dans sa «
trajectoire ». On va aboutir, pour les plus complexes des états du système qui correspondent
au plus fort de la crise, à des structures « par couches », trajectoires propres à un attracteur de
type de celui de Hénon. Supposer qu’un ordre sous-tend la progression interne aux situations
de crise a une conséquence sur le choix des outils utilisés pour les modéliser : les plus
complexes des attracteurs ne sont pas les figurines idoines. Parmi les types d’attracteurs, ceci
renvoie t-il aux moins désorganisés des formes d’attracteurs que sont les cycles limites ? Les
crises sont des phénomènes cycliques…avec, à un moment donné, un obstacle (correspond-il
à l’atteinte d’un état stationnaire, depuislequel les mouvements cycliques débutent). Je ne sais
pas. Réaction, extension et convergence ont un caractère auto-renforçant. Mais sont-ils des
états critiques qui franchis successivement sous l’effet de contraintes extérieures, de plus en
plus élevées, permettent d’atteindre après plusieurs bifurcations un état totalement organisé ?
2.1. Eléments de compréhension de la phase de réaction d’un système à une crise.
Ce qu’on peut aujourd’jui, c’est tenter de mieux comprendre la phase de réaction. Mais je suis
partagée. Pour mieux comprendre cette phase, il faut donner une direction à ma recherche.
Alors, comprendre aussi la direction de l’ensemble de ces trois phases. Choisir alors dans
quelle catégorie puiser la modélisation qui décrira au plus juste le fonctionnement interne des
crises. Le mouvement qui décrit le mieux une crise est le cycle (dans lequel on retrouve les
trois phases qui se succèdent invariablement dans une crise) mais à la limite du chaosdu fait
de la complexité, inhérente au système (la complexité est un nombre très élevé de
paramètres). Un bon départ est d’analyser le mouvement d’un ressort :
2.1.1. Mouvement du ressort pendulaire : Une masse m est accrochée à un ressort de raideur k
qui peut s’écarter de sa position d’équilibre d’un angle a lors on montre que :
l’’=g cos a +k/m(l
o
-1)+1 a’
2
-lambda l’
a ‘’ =-(g sin a + 2 l’ a’)/1-µa’
où lambda et µ sont les coefficients d’amortissement.
Décrire la trajectoire des éléments qui composent la situation de crise revient à modéliser la
trajectoire des points vers l’attraction et le bassin d’attraction d’un attracteur dans lequel on
retrouve une sorte de régularité, du moins dans la trajectoire convergente des points. Il
s’agirait désormais de déterminer quels attracteurs sont plus spécifiquement concernés.
Il y a quatre types d’attracteurs :
- l'attracteur de point, tel qu'un pendule se balançant dans les deux sens et s'arrêtant à un point.
L'attracteur peut venir comme point, dans ce cas, il donne un état d'équilibre où aucun
changement ne survient.

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- l'attracteur périodique, où s'ajoute juste un mouvement au pendule pour compenser le
frottement et le pendule a maintenant un cycle limité dans son espace de phases.
L'attracteur périodique dépeint les processus qui se répètent.
- l'attracteur de tore, image d'un grand beignet, sur lequel on peut déplacer un point au-dessus,
au-dessous et autour de sa superficie extérieure, sans jamais prendre deux fois le même
chemin. L'attracteur de tore dépeint les processus qui restent dans un secteur confiné mais
errent d'un endroit à l'autre dans ce secteur
(les trois premiers attracteurs ne sont pas associés à la théorie du chaos parce qu'ils sont des
attracteurs fixes).
- les attracteurs étranges.
Les types d’attracteurs plus spécifiquement concernés sont soit l’un des 4 types d’attracteurs
fixes, soit les attracteurs étranges.
2.1.2. Structure interne de la phase de réaction.
Décrire structure interne de la phase de réaction. Si on retient la similitude entre les attracteurs
et les crises, il faudra alors étudier plus profondément la régularité des bassins d’attraction,
qui sont ce qu’il y a de cyclique dans le chaos d’une part, et qui sont la simulation la plus juste
possible d’un système dynamique, d’autre part.
2121 Eléments formels de la théorie du chaos.
-les fondements : le billard impossible. Un système physique macroscopique avec croissance
lente de l’écart initial conduit à croissance très rapide de l’écart final n’est pas déterministe
parce que son avenir est prévisible.
-la boussole : on ajoute, à une boussole, un champ tournant, en plaçant autour de l’aiguille
aimentée un ensemble de 4 bobines alimentées 2 à 2 par des courants sinusoï daux. L’équation
différentielle du mouvement s’écrit :
tô’’(+ktô’)+(w
1
)2+cos tô+(w
2
)2 cos(tô-w
t o
)=0(2)
w
1
=(MB
1
/J)
1/2
w
2
=(MB
2
/J)
1/2
avec tô : élongation
w0 : vitesse angulaire
k0’ : frottement liquide.
Il n’y a pas de solution générale exacte. Seule une intégration numérique permet d’obtenir une
solution approchée par approximations successives. « Le chaos est le mouvement désordonné
imprévisible d’un système physique macroscopique très sensible à la définition des conditions
initiales, dépendant d’au moins trois paramètres et régi par une équation différentielle non
linéaire ».
-espace de phases d’une boussole avec un champ tournant. On aboutit à un espace de phases à
3 dimensions tô, tô’ et phy (coupe de Poincaré). Introduction du terme de frottement, K*tô. Le
système est dissipatif. L’énergie est dissipée sous forme de chaleur. Le mouvement chaotique

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entretient la dynamique du fait du champ tournant qui injecte en permanence de l’énergie
dans le système. La coupe de Poincaré se simplifie pour donner un ensemble de points
formant une structure feuilletée, étonnante, que l’on a baptisée « attracteur étrange ». Cette
structure est la même quelle que soit l’échelle à laquelle onl’observe : c’est une fractale.
« L’attracteur étrange est une région limitée de la coupe de Poincaré sur laquelle viennent
s’accumuler sans jamais se couper les trajectoires de phase d’un système dissipatif entretenu,
ayant au moins 3 degrés de liberté dans l’espace de phases, une grande sensibilité aux
conditions initiales, et un mouvement chaotique ».
L’un d’eux, l’attracteur de Hénon, adopte une structure feuilletée, qui a la même forme qu’un
arc parabolique. L’itération de cet arc produit une courbe composée d’une parabole avec deux
couches. La prochaine itération créera une structure à 4 couches, la suivante huit, et ainsi de
suite. L’auto-similarité, facteur explicatif des fractales, est une notion qui compte aussi dans
la compréhension des phénomènes de crise, en partie parce qu’elle détient des composantes
ordonnées. Or, ce qu’on cherche à mettre en lumière, ce sont les aspects ordonnés des
phénomènes chaotiques.
2.1.2.2. Parenthèse sur la formalisation des cycles en informatique.
Une fonction programmée sur informatique, nommée « cycles ». Trouver à partir de quand la
suite Un devient périodique et entre quelles valeurs elle « tourne ». Calculer en parrallèle
x=Un et y=U
2
n. La suite y avance donc deux fois plus vite que la suite x. Supposons que la
suite U devienne périodique à partir d’un certain temps. Alors, on aura nécessairement un jour
ou l’autre : x=y. Il suffit ensuite de comparer Un
+1
, Un
+2
,... à x=Un jusqu’à une égalité:
Un+p=Un (nécessairement, p=<n). On a lors trouvé le cycle, de longueur p={Un,
Un+1,Un+2,..,Un p-1}. Pour certaines valeurs de k, la fonction « cycles » ne trouve pas de
période. Les 100 premières valeurs de x ne sont pas étudiées car elles sont trop désordonnées.
Les valeurs de k qui produisent des bifurcations (doublement des cycles) valent environ :
k1=2, k2=2.44949, k3=2.54409, k4=2 ;56441, K5=2.56876, K6=2.56969, K7=2.56989,.. Ces
valeurs définissent des intervalles : d1=k2-k1, d2=k3-k2, d3=k4-k3,.. Les rapports de ces
longueurs tendent vers d= 4.66920 (constante de Feigenbaum).
Les bassins d’attraction sont des trajectoires similaires. Ce qui peut être utile dans la
compréhension des situations de crise, c’est le fait qu’un système avec un vaste bassin
d’attraction est généralement plus stable qu’un système qui n’a qu’un petit
bassin d’attraction. (Car les grands systèmes sociaux se sont, en quelque sorte, ancrés dans
l’histoire ; leur trajectoire a laissé une trace profonde et elle est auto-renforçante : plus ils
seront considérés, plus cette trace s’ancrera).
Notons que la notion de « bassin d"attraction » a déjà été utilisée en sciences sociales :
-bassins d’attraction au voisinage des hôpitaux,
-projet ECHO (peuples d’Océanie),
-bassins régionaux d’emploi,
-notion utilisée par l’Education Nationale.
Cependant, la modélisaiton des bassins d’attraction est plus difficile à trouver. On remarque
qu’on trouve plus aisément des représentations géométriques sans analyse arithmétique.
2.1.2.3. « Effet papillon » et calcul de l’erreur dûe à cet effet.

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Soit la suite Un
Un+1=Un+kUn(1-Un)
Et k=3 (sensibilité maximale)
Terme initial est Uo qui est dans [0,1+1/k].
A partir de U
48
, l’approximation des résultats donnés par application de la formule conduisent
à des valeurs très divergentes: la figure géométrique subit l’effet de la forte vulnérabilité à
des conditions intiales sensiblement différentes les unes des autres. Il y a cependant une
convergence vers un possible, p k=0.05 et deux suites, avec des valeurs initiales 0,1 et 1,4.
Un+1=f(Un) avec f(x)=x+kx(1-x)
Tous les termes de la suite sont dans l’intervalle [0,1+1/k].
Nous allons voir comment une erreur initiale e
o
sur le terme Uo peut se propager.
Soit e
n
l’erreur absoule sur le terme Un.
E
n
=If(Un+ln)-f(Un)I=e
n
If’(Un)I
F’(x)=1+k-2kx
E
n+1
/e
n
=I1+k-2kUnI facteur par lequel est multipliée l’erreur, dans le passage du rang n au
rang n+1.
Dans le passage du rang 0 au rang n, l’erreur initiale ln est multipliée par
(e1/e0)(e2/e1)...(e
n
/e
n
-
1
)=e
n
/e
0
.
Taux d’augmentation de l’erreur lambda n=(e
1
/e
0
)(e
2
/e
1
)...(e
n
/e
n
-
1
)
Ln(lambda)=1/n sum(ln(e
m
+1/e
m
),m,0,n-1)=1/n sum(lnI1+k-2kUmI,m,0,n-1).
Pour une valeur de U
0
, on peut calculer la somme du second membre et prendre
l’exponentielle du résultat. C’est le coefficient moyen d’amplification de l’erreur sur les n
premiers rangs de la suite.
Taux moyen d’amplification de l’erreur, de U
0
à Um, pour n. Avec k=3, la suite des
coefficients lambda tend vers 2, indépendamment du terme initial. Quand k=3, les erreurs sont
doublées à chaque calcul d’un nouveau terme.
Si k=2, lambda tend vers 0,94 (et la suite Un converge vers 1, très lentement).
Si k=1, lambda tend vers 0, et la suite vers 1 (un est un point fixe qui aspire violemment toute
la suite et neutralise les erreurs).
Si k a une très faible valeur (k=0,01), lambda converge vers 1.
3.Comment en tirer des leçons pour instaurer des systèmes durablement résistants aux crises ?
Les leçons qu’on peut tirer de la régularité des bassins d’attraction est que l’on évolue dans un
espace confiné. On l’a vu, le bassin d’attraction se définit par l’ensemble des trajectoires
qu’empruntent les différents points de l’attracteur. Ce sont donc les trajectoires au pire
voisines, ou au mieux, identiques, qui composent cet espace confiné décrit ci-avant.
En ce sens, l’anneau de Moêbius, une surface infinie, appliquée à ce qui se passe dans
l’environnement, permettra de poursuivre la construction de ma théorie car elle est la
représentation géométrique du confinement des problématiques, des éléments d’une situation
complexe, en un même lieu, d’une part, et qu’elle représente aussi et d’autre part, les
fractales. La complexité de la forme se reproduit lorsqu’on suture l’anneau de Moêbius,
chaque morceau a une double torsion par rapport à l’anneau duquel il est issu. L’anneau de
Moêbius est une figure géométrique issue de l’univers des paradoxes, troisième paramètre qui
en fait une bonne illustration géométrique des situations de crise. Elle se rapproche en ce sens
des situations de crise. Lorsqu’on découpe l’anneau de Moêbius en son centre, on obtient un
seul anneau, mais à deux bords. Si on le découpe au tiers de la largeur, on obtient un anneau
de Moêbius (au centre) et un anneau à deux bords enlacés.

Page 7
***
Ainsi, comme on l’a décrit, certaines figures géométriques, dont certaines issues de la
mécanique non linéaire, permettent de représenter graphiquement l’évolution du cours normal
des choses en crise. Les principales composantes d’un système qui subit une crise : situations
extrêmes, générées par une implosion plus que par l’intervention d’un facteur externe,
plusieurs composantes suivent la même évolution après une période de désordre intense, et
contre intuitivement ; premièrement, au-delà d’un laps de temps, le système dans son
ensemble converge en effet, les différentes composantes empruntent des chemins d’attraction
qu’on a tenté de décrire, et similaires ; deuxièmement, la crise ne peut être convenablement
entendue que si l’on interprète l’un des moments du système au regard d’un moment, qui lui
est voisin, et qui s’oppose à lui: la crise est le point où se rejoignent les paradoxes.