LA SYSTEMIQUE DE L'ORGANISATION

DANS LES ESPACES DE TEXTURE PRETOPOLOGIQUE

SYSTEM SCIENCE OF THE ORGANISATION

IN PRETOPOLOGICAL TEXTURE SPACES

Patrick SAINT-JEAN,

MC de l'Ecole Normale Supérieure de Cachan, CC de l'Université de Paris I, 1989.

 

Pour résoudre des problèmes d'analyse, de traitement et de synthèse de systèmes, où les modèles et les méthodes classiques n'ont plus d'efficacité dans des processus de simulation, de suivi et de contrôle de processus informatisés, nous construisons des modèles mathématiques où l'observation des propriétés globales et locales sont intimement liées. Ainsi, l'organisation structuro-fonctionnelle des systèmes complexes est modélisée, non pas dans des espaces topologiques, mais dans des espaces de texture prétopologique. La représentation est plus fine et plus riche. Et si la complexité des systèmes est moindre, il est possible de simplifier par réduction et retrouver des structures topologiques.

Mots-clés : Topologie, prétopologie, texture, systémique de l'organisation, système, perception, représentation, analyse, traitement et synthèse des connaissances.

To work out any problems in analysis, treatment and synthesis of systems, when classical models and methods have no efficiency or are too difficult to run in simulation, followed and control process by computer, we propose a mathematical model, where the observation of global and local properties are closely connected. Then the structural and functional organization of complex systems are modelized, not in topological spaces but in pretopological texture spaces. The representation is finer and richer. And, if the complexity of systems are lesser, simplification by reduction is always possible, and topological structures could be find again.

Key words : Topology, pretopology, texture, system science of the organization, system, representation, analysis, treatment and synthesis of knowledges and cognition.

 

1 Introduction :

Dans quelque domaine que ce soit, la simulation informatique, le suivi et le contrôle des processus informatisés nécessitent une modélisation mathématique homogène, tant dans l'analyse que dans le traitement (réorganisation, restructuration) et la synthèse (construction, simulation) des systèmes aussi complexes soient ils.

L'observation fine de grands systèmes à structures et fonctions non linéaires implique le traitement de données en grand nombre. Cette observation dépend souvent de l'observateur, dès que la structure et le comportement du système analysé est lié à son environnement. Les modèles de type équation, généralisant le local au global, et les méthodes de type statistique, généralisant le global au local, sont insuffisantes ou d'utilisation difficile. Le global et le local doivent être intimement liés. Les modèles et méthodes doivent être considérés comme des systèmes appartenant à l'environnement des systèmes analysés et réciproquement. L'équilibre entre les systèmes donne alors la "juste mesure" dépendant du temps, du champ d'observation, et des objectifs de l'observateur. L'objectivation, par recherche d'invariance dans le temps et l'espace et quelque soit l'observateur, devient alors l'objectif d'une méthode. Mais la subjectivité réelle ou de l'observateur n'empêche pas le déroulement de processus de décision et d'action.

La modélisation des systèmes se fonde souvent sur des relations binaires transitives (équivalence, ordre, préordre), qui définissent chacune un espace topologique (Vallée 75, 78, 87). Ces relations sont également utilisées en analyse d'images pour définir des textures morphologiques (Haralick 73, Pavel 81, Serra 82), en complément à celles liées aux fréquences spatiales (Julesz 78, Molnar 85) et aux statistiques (Gagalowicz 83). Ces modèles sont généralement efficaces pour des textures régulières. Si nous généralisons la notion de texture aux ensembles discrets d'éléments structurants ou fonctionnalisant, comme un arrangement structurel ou fonctionnel d'une organisation, tout système et interconnexion de systèmes à une texture qui n'est pas nécessairement régulière.

La représentation systémique des modèles, mathématiques ou non, par la théorie des catégories (Mitchel 65) et la dualité algébrique objet-opérateur dans une organisation structuro-fonctionnelle liée à la perception (Saint-Jean 71, 72, 89), appliquées initialement à l'images et au signal (Saint-Jean 77a, 77b, 79), nous a conduit à la notion de texture généralisée.

Nous présentons un modèle mathématique général d'espace de texture prétopologique sur lequel sont fondées des méthodes de constructions, de représentations, d'analyse, de traitement et de simulation et de synthèse.

2 Modèle d'espace de texture prétopologique :

Tout comme les espaces topologiques définis à partir de différentes propriétés des éléments (ouverts, fermés, voisinages, relations transitives), il existe plusieurs espaces prétopologiques différenciés par les propriétés de l'élément origine de leur définition (H. Emptoz 83, P. Saint-Jean 71, 89).

2.1 Espace topologique et relation binaire transitive :

Soit une topologie T sur un ensemble X définie à partir d'une famille V(x) de sous-ensembles de "voisinages de x", satisfaisant pour chaque élément x de X aux quatre axiomes suivants :

Toute partie de X contenant un élément de V(x) appartient à V(x):

Toute intersection finie d'éléments de V(x) appartient à V(x) :

V(x) est non vide et x appartient à tous les éléments de V(x) :

Pour tout élément x de X et V1 de V(x), il existe un élément V2 de V(x) tel que pour tout élément y appartenant à cet autre élément V2 de V(x), le premier élément V1 de V(x) appartient aussi à V(y) :

Alors V(x) est un système de voisinages de x, et (X,T) est un espace topologique défini sur X (Bourbaki 64, Lipschutz 65).

Soit, dans ce même ensemble X, un sous-ensemble A(x), possédant x et une relation binaire R dans X telle que :

La réflexivité de la relation donne, aux éléments de l'ensemble X, la propriété de vérifier les trois premiers axiomes, et la transité satisfait le quatrième.

THEOREME : Les propriétés de réflexivité et de transitivité de la relation binaire définissent un espace topologique sur un ensemble.

Les relations binaires ayant des propriétés de réflexivité et de transitivité, sont les relations d'équivalence et d'ordre, la propriété de symétrie et d'anti-symétrie les différenciant.

2.2 Espace prétopologique et relation binaire non transitive :

Pour obtenir un espace prétopologique de l'espace topologique, il est nécessaire que les propriétés des éléments de l'ensemble X ne satisfassent pas à l'axiome (4) des voisinages.

THEOREME : Les propriétés de réflexivité et de non transitivité d'une relation ne définissent pas un espace topologique sur un ensemble mais un espace prétopologique (Saint-Jean 89).

Remarque : La non transitivité est soit l'intransitivité dans un espace à une dimension, soit une transitivité partielle dans les espaces de dimension supérieure.

En fait l'absence de l'axiome (4) est insuffisant pour définir les prévoisinages et il est préférable de définir un axiome de prévoisinage (4-bis), compatible avec la non transitivité de la relation binaire : Pour tout élément x de X et V de V(x), il existe au moins un élément y de X, différent de x, et appartenant à V' de V(x) tel que V n'appartient pas à V(y) :

Cet axiome permet d'une part de construire un espace prétopologique sans passer par un espace topologique et d'autre part de différencier celui-ci des autres espaces prétopologiques construits à partir de propriétés différentes. Si nous percevons et décrivons un ensemble par l'aspect relationnel de ses éléments, il est restrictif et particulier d'utiliser uniquement des relations d'équivalence ou d'ordre nécessairement topologiques.

2.3 Espace de texture prétopologique et composition de relations :

Une faculté de la perception est de comparer des espaces, des instants, des concepts, pour construire des sous-ensembles par rapport à leurs propriétés intrinsèques, et par rapport aux autres sous-ensembles ayant des propriétés intrinsèques différentes et qui du fait de ces différences engendre des configurations et des dispositions à l'intérieur de l'ensemble liés aux arrangements et liaisons des éléments et groupes d'éléments.

La composition mathématique de relations binaires donne pour résultat soit une relation transitive, si et seulement si toutes les relations composées sont des relations transitives, soit une relation non transitive, si et seulement si au moins une seule des relations composées est une relation non transitive.

Ainsi la composition des relations binaires nous permet de prendre en compte des frontières liées aux différences par les relations non transitives et des groupes liés aux similitudes par les relations transitives, et de créer des interférences entre des propriétés des deux genres, le résultat étant une relation non transitive définissant sur l'ensemble observé un ESPACE DE TEXTURE PRETOPOLOGIQUE, qui est un espace prétopologique.

L'existence d'interférences entre des propriétés définit pour nous la notion de TEXTURE. Nous pouvons donc en différencier deux types : la TEXTURE TOPOLOGIQUE dont les interférences sont créées entre relations transitives et la TEXTURE PRETOPOLOGIQUE dont les interférences sont créées entre relations transitives et non transitives. Les textures issues d'une seule relation sont dites dégénérées car non génériques d'interférences, par conséquent très limitatives dans la description de la texture. Les textures topologiques créent des interférences disjointes donc pauvres. En effet les informations de texture topologique donnent une connaissance de type objet isolé et non de type relationnel comme les textures prétopologiques.


3 Méthodes de construction des espaces de texture prétopologique

5 Textures prétopologiques dans l'espace des nombres complexes