La semaine scientifique ESIEA du 26 au 30 avril 2004

" Vers une Texturologie Quantique "

Patrick Saint-Jean,
Maître de conférence, ENS-Cachan, Département de Design
Chair of Paris ACM SIGGRAPH Professional and Student Chapter

Introduction

Initiée en 1967 avec les trans-combinaisons, cette notion a pris corps dans un projet en mathématique à l'ESIEA en 1972 (professeur JP Landrieu) cherchant à structurer entre-eux les différents espaces topologiques par la théorie des catégories et mettant alors en évidence l'existence d'espace pseudo, quasi et pré-topologies. Dès 1974, la notion de texture prétopologique, fondée sur les interférences relationelles, par composition et propriété de non transitivité, va se développer (CNET) pour des besoins de texture sonore en musique et de texture chromatiniène et tissulaire en biologie cellulaire et imagerie biomédicale (CEA), culture cellulaire, robotique de laboratoire et imagerie biomédicale (Université de Paris 13, INSERM). La pratique confortant la théorie, plusieurs généralisations voient le jour en tant que texturologie prétopologique, systémique de l'organisation dans les années 80, Design du Concept dans les années 90, et finalement mais encore à l'essai, de texturologies quantiques par la définition d'amplitude de distribution et de fonction d'onde en théorie de l'information.

Evolution du concept

Besoins : trouver des langages, des structures, des règles, et des processus suffisamment généraux ou les plus généraux possibles pour observer, mesurer, comprendre, simuler, représenter, interpréter et prévoir le micro, le mezzo et le macro cosme ou composition de toute organisation matérielle, abstraite ou virtuelle.

Trans-combinaison et formes dans les structures en Musiques formelles (1967) :

Toute forme à base de triangle dans la (n-1)-ième dimension a un nombre d'éléments (cellules d'ordre p) donné par :
C(n, p) =  n! / p! (n-p)!.
C'est le triangle de Pascal, représentation du triangle dans la n-ième dimension, combinatoire d'un ensemble de n éléments pris p à p.
Toute forme à base de carré dans la (n+1)-ième dimension a un nombre d'éléments donné par :
T(n+1, n-p+1) = 2p .C(n, p)
C'est la représentation du carré dans la n-ième dimension, appelée par l'auteur trans-combinaison d'un ensemble de n+1 éléments à p degrés de liberté, produit d'un ensemble de combinaisons de n éléments par une combinaison de ces n éléments pris p à p.
Alors que les combinaisons définissent une combinatoire sur les espaces topologiques, les trans-combinaisons définissent, elles une combinatoire sur les espaces prétopologiques montrant une plus grande variété. Cette recherche avait été réalisée pour répondre à des besoins de structure d'ensemble en composition musicale dans cadre des musiques formelles dont le spécialiste était le compositeur et Maître Iannis Xenakis, au Collège de France (invité par Louis Le Prince Ringuet à la chaire de Physique nucléaire), puis à l'Université de Paris VII (EMAMu) et au CNET (CEMAMu).

Ensemble et Relation binaire non-transitive (ESIEA, 1971).

Théorie des Catégories et structures topologiques (vers les quasi, speudo et pré topologies) (ESIEA, 1972).

Texture prétopologique : interférences relationelle (composition des relations dont une non-transitive) + prétopologie (sur les prévoisinages) :
"le voisin de mon voisin n'est pas forcément mon voisin" ; les mesures sont des intégrations de formes élémentaires (détection et comptage) propices à l'analyse et la visualisation temps réel ainsi qu'à la synthèse (prédiction).

Texturologie prétopologique : texture prétopologique dans des processus markoviens prétopologiques pour les échanges structurels, l'évolution de structure et le traitement du signal et de l'information.
Systémique de l'organisation (1989) : Auto-organisation

Design du Concept multimedia dans les Cyber Espaces  pluri et trans disciplinaires (PolyAgogic CyberSpaces).
Imagina Monaco 1999
Laval Virtual 2000
ASTI 2001
Information, Systémique et Cybernétique (2003)
 

Vers une Texturologie Quantique

Partant de la représentation des textures prétopologiques

Représentation de la texture prétopologique
dans l'ensemble des nombres complexes.

La représentation dans l'espace des nombres complexes décrit totalement la texture en montrant les relations entre les sous-ensembles particuliers prétopologiques d'intérieur (Int), de semi-frontière intérieure (Sfi) et extérieure (Sfe), d'adhérence (Adh), d'extérieure (Ext), les sous-ensembles (Ai) et l'ensemble (X).

Les vecteurs T2, T4, T6 ont la même propriété que T0 d'être des vecteurs réels. Et par conséquent, il est possible de considérer les sous-ensembles particuliers prétopologiques A, Adh(A) et X, comme l'intérieur de sous-ensembles participant à une texture dans d'autres ensembles organisés.
- Si la semi-frontière extérieure est plus petite que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement concave (en boule ou renflements) dans son environnement.
- Si la semi-frontière extérieure est plus grande que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement convexe (en creux) dans son environnement.
- Si la semi-frontière extérieure est sensiblement égale à la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement très filaire long et épais ou très carré dans son environnement.
Les mesures de l'agrégation et de la dispersion sont proportionnelles respectivement au carré des modules des vecteurs T0 et T3 ou T4.
Il existe d'autres propriétés remarquables à noter :
- quand les phases P1, P3 et P5 ont même valeur.
- quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure.
- quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure et la semi-frontière intérieure.
Quand les vecteurs complexes T1, T3 et T5 ont une phase non nulle, il exprime un facteur de pondération sur leur module pour en diminuer leur importance (histogramme des cardinaux des sous-ensembles). Ainsi, si l'histogramme joue un rôle important dans la description topologique d'un ensemble, et de sa texture (histogramme local), on remarquera que la texture prétopologique pondère celui-ci en fonction de l'environnement des sous-ensembles et des propriétés qui les organisent en texture de l'ensemble.
Le passage de la prétopologie à la topologie se fait par inhibition des propriétés non-transitives pour ne garder que des relations transitives (sauf irréductibilité des systèmes complexes). De même le passage de la topologie à la prétopologie se fait par ajout de propriétés non-transitives permettant une plus grandes variété propice à une meilleure adaptabilité.

La texture prétopologique est définie par 6n+1 vecteurs complexes réductibles à 3n+1 pour n sous-ensembles de l'ensemble X.
Les mesures sont des racines carrées d'une intégration (ou sommation ou simplement comptage) de formes spécifiques à des niveaux d'observation donnés pour des capteurs appropriés (matériel ou logiciel).

Actualisation : hypothèses d'école

Ayant construit un modèle mathématique pour répondre à des besoins applicatifs (analyse, traitement, synthèse du son, de l'image, de la structure, du concept et de l'information), le besoin de définir une théorie aussi généralisée que possible pour concevoir et développer des outils et instrumentations numériques optimum se fait sentir.

Notre élément d'ensemble s'est vu devenir "événement" projeté dans des espaces musicaux, puis "pixels" dans les espaces d'image 2D et 3D animés et interactif, puis "concept" dans les espaces de connaissance, le vide étant l'ignorance mais dont la structure, le design de la connaissance permet d'entrevoir.

Pourquoi notre élément ne deviendrait-il pas un quanta, un élément quantique ?

Pour cela il faut définir précisément les concepts associés en s'inspirant des théories comptemporaines en physique et mathématique.

Nous étions partis d'ensemble d'éléments où l'exisence d'un sous-ensemble (patatoïde) différent de l'ensemble global fait intervenir la présence d'un sous ensemble complémentaire.
Si les éléments sont distribués (nuages de points) sur un média, une propriété les différencie entre ceux qui ont ou n'ont pas cette propriété, le complément définissant donc une autre propriété à la fois indéfinie et définie par le fait de ne pas être la propriété du sous-ensemble considéré (points noirs sur fond blanc).
Si les éléments sont en réseau (points liés virtuellemnt par des segments), les points sont liés entre eux par la propriété, le complément serait un autre réseau de points différenciés isolé ou le vide dans le cadre d'espaces topologiques mais liés dans leur pré-voisinage dans les espaces prétopologiques.
Partant du vide, quantifier un espace de propriétés, c'est d'abord se poser le problème de savoir si il y a propriété ou non, les éléments ayant une propriété se diffrenciant de ceux qui ne l'ont pas, avec le paradoxe que c'est cette propriété qui définit cette existence avant de définir cette propriété.

Etre ou ne pas être, est là la question ?
Rien que de la poser définit l'aspect quantique du vide.

L'élément quantique est à la fois de posséder cette propriété pour exister et de ne pas la possèder, donc d'être présent par le lien qu'il a entre son existence et sa non-existence. Donc il n'est observable que dans son existence avec son complément n'ayant pas cette propriété. L'observateur peut être ce complément. Sa présence non existentielle n'est donc pas observable. On observera sa dualité ou réciprocité avec son complément qui est alors un élément quantique dual ayant à la fois la propriété et la non propriété.
Le vide quantique est donc peublé d'éléments quantiques.
En fait le concept de "vide" est faux puisque le vide quantique est quantique, donc à la fois le vide et le non-vide. (Alors peut-être le concept de dieu ! ?).

En physique quantique, l'influence du vide quantique se fait sentir et les physiciens considèrent que le principe d'indétermination de Heisenberg (J.Wheeler et W.Zurek, ìQuantum Theory and Measurementî, Princeton University Press, 1983) est capable de révéler tout un monde virtuel auquel on peut assigner une densité d'énergie. Comme les physiciens Casimir, Compton ou Lamb l'on constaté, les instabilités du vide sont omniprésentes, elles induisent des effets sur les particules réelles et agissent même entre particules virtuelles dans une cascade de réactions infinies. (http://www.astrosurf.com/lombry/quantique-interpretation3.htm)
Si l'on sépare deux condensateurs d'une distance "d", on constate qu'il existe une force attractive entre eux égale à hc2/ 240d4 induite par les fluctuations du vide quantique.

Un photon X est diffusé par un électron virtuel. Cet effet provoque une diminution de la fréquence du rayonnement et une perte díénergie.
Le décalage de Lamb est provoqué par la polarisation du vide.

Et pourquoi pas un spiner comme élément quantique élémentaire ?

Après Elie Cartan en 1938 dans sa théorie des spineurs, le mathématicien et physicien Roger Penrose (R.Penrose et W.Rindler, "Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry", in Spinors and Space, Vol.2, Cambridge University Press, 1986) s'est également penché sur la question de la réalité sachant combien le monde quantique est subtil et se dérobe dès que líon essaye de líappréhender. Le couple chat de Schrödinger-Observateur n'étant pas un objet quantique mais un "système coopératif non linéaire" puisque le phénomène est discontinu à notre échelle, il doit être possible de déterminer son état à tout moment : le chat ne peut être vu que mort ou vivant. Partant de ce constat, Penrose invente pour les besoins de sa démonstration une particule appelée "spineur" qui ne peut prendre qu'une valeur parmi deux choix possibles. Ce concept trouve également des applications en relativité. En additionnant ces particules élémentaires selon les lois de la physique quantique, il parvint à obtenir un "réseau de spineurs". Quand il essaya de connecter deux réseaux de ce type l'un à l'autre, il découvrit que les spineurs individuels de chaque système ne se reconnaissaient plus mais se percevaient dans l'espace. Les spineurs de chaque réseau prenaient tous la même orientation comme si les deux réseaux s'orientaient l'un par rapport l'autre. On découvrit ainsi que chaque réseau de spineurs devenait à son tour le spineur d'un réseau d'ordre supérieur.

Ce phénomène applique les mêmes règles que les systèmes chaotiques qui se mettent à vibrer en harmonie sous certaines conditions : c'est le blocage de phase. Cette démonstration permet de résoudre le paradoxe de la linéarité des phénomènes quantiques. Ni l'espace ni le temps n'ont de propriétés intrinsèques absolues car ce sont les systèmes quantiques qui déterminent en permanence les propriétés des systèmes, leur stabilité (linéarité) ou leur non-linéarité, qu'ils soient à l'échelle atomique ou à l'échelle de l'univers. Certains phénomènes microscopiques ont un comportement aléatoire et restent sensibles aux fluctuations quantiques. D'autres structures, tel le système solaire semblent relativement stables. En fait il existe une relation entre les deux phénomènes. Sous l'influence d'un attracteur étrange les systèmes micro et macroscopique suivront un régime chaotique, se bloqueront en phase ou deviendront relativement stables. Ces processus évolueront en fonction de la taille des systèmes.

L'expérience la plus sophistiquée fut celle réalisée par l'équipe française d'Alain Aspect à l'Institut díOptique de líUniversité d'Orsay en 1981 avec des protons. Le test consista non plus à mesurer une propriété des particules A et B le long díun axe X mais sur la combinaison des axes X et Y, X et Z et enfin Y et Z. Les résultats des trois mesures devaient obéir à certaines inégalités qui prouvaient líexistence de variables cachées ou violaient les inégalités síil y avait ìcommunicationî entre les particules.
Líexpérience díAlain Aspect, comme celles antérieures de J.Clauser, A.Horne et E.Fry violent les "inégalités de Bell" et renforce la mécanique quantique. Toutes les expériences démontrent que les particules restent en corrélation alors qu'il n'y a physiquement aucune possibilité pour qu'elles puissent communiquer !

Sachant  que chaque système se définit par au moins 6 paramètres  pour déterminer sa position et son impulsion dans líespace,  nous devons jongler avec 144 dimensions dans le cas  présent... !
Dans un premier tant nous éviterons les problèmes de continuité, de linéarité et de symétrie toujours cherchés dans la construction des modèles topologiques.

Alors si nos mesures de texture étaient des amplitudes de probabilité.
Les vecteurs de texture deviennent alors des fonctions d'onde.
Et tout sous-ensemble est caractérisé par trois fonctions d'onde locale, totale, et globale qui vont texturer le vide quantique :

yl(p,t) = sqrt(int) + i sqrt(sfi) = sqrt(A(cosql + i sinql)) = sqrt(A.exp(i.ql))
yt(p,t) = sqrt(A) + i sqrt(sfe) = sqrt(Adh(cosqt + i sinqt)) = sqrt(Adh.exp(i.qt))
yg(p,t) = sqrt(Adh) + i sqrt(ext) = sqrt(X(cosqg + i sinqg)) = sqrt(X.exp(i.qg))

Etant donné le vide quantique (plein d'énergie et d'ignorance au sens de l'information), la quantification de cet espace nous permettrait de le structurer virtuellement et les fluctuations quantiques généreraient des propriétés texturant l'espace (processus markovien prétopologique)
Alors chaque élément virtuel de l'espace, du vide quantique est un spineur ayant deux valeurs : être ou ne pas être en relation avec un élément de même propriété dans une relation non-transitive.
Et toute partie d'espace est constituée au moins d'un spineur localisant (int et sfi), d'un spineur totalisant (A et sfe) et d'un spineur globalisant (Adh et Ext) dans la partie englobante X réelle.
Si X est au moins un spineur, elle est alors spineur d'une autre partie englobante (poupées russes). Si le spineur localisant est une partie englobante, il est aussi spineur globalisant d'une sous partie.

Peut-on rapprocher cette théorie de Von Neumann ?
Dans ce cas la fonction d'onde locale est celle du système quantique, la fonction d'onde totale est celle du détecteur et la fonction d'onde globale est celle de l'Observateur.

Mais dans ce cas, nous obtenons l'existence de plusieurs systèmes quantiques, les uns étant les observateurs des autres.
 

 Applications :
- moteur de recherche : optimisation des trois spineurs en temps réel dans un scénario.
- générateur de formes : de l'informe vient la forme qui informe.
- réalité virtuel, augmentée et simulée.
- intelligence, vie, conscience et âme artificielles.
- logiciel d'analyse, de traitement, de synthèse et de visualisation interactive de l'information à texturologie quantique.
- ordinateur quantique :

Pour un grand programme européen: l'ordinateur quantique (http://www.automatesintelligents.com/echanges/index.html, 29 janvier 2004 par Jean-Paul Baquiast et Christophe Jacquemin).
La particule isolée peut, comme l'enseigne la mécanique quantique, se trouver dans deux états à la fois. C'est ce que l'on appelle l'état de superposition cohérente. Si on veut s'en servir comme unité de représentation de l'information (bit) elle peut donc présenter simultanément l'état 1 et l'état 0. L'ordinateur quantique calcule ainsi en manipulant des bits pouvant prendre soit la valeur 1, soit la valeur 0, soit la superposition 1 et 0. Avec deux bits, un ordinateur classique peut représenter un des 4 nombres traduits en binaire par 00, 11, 01 ou 10. L'ordinateur quantique, lui, peut représenter simultanément ces 4 nombres. Trois qbits, de même, pourront représenter simultanément 8 nombres, au lieu de 1 nombre à la fois. La suite en proportion, chaque nouveau qbit ajouté aux autres doublant la quantité de nombres représentés par la séquence: quatre qbits représentent 16 nombres, cinq qbits 32 nombresÖ dix qbits 1.024 nombres (au lieu de 1, répétons-le, dans un calculateur classique). N qbits peuvent mémoriser 2 puissance N nombres. Il en résulte que si on utilise trois qbits comme donnée d'entrée en vue d'un calcul (diviser par 2 ou extraire la racine carrée), comme ils représentent 8 nombres, ils feront 8 calculs à la fois chaque fois que l'on changera l'état d'un des bits. L'ordinateur quantique est donc d'abord un calculateur massivement parallèle. Avec 13 atomes (ce qui n'est pas envisageable pour le moment), il atteindrait la puissance de calcul en parallèle de l'ordinateur Blue Mountain.

La course à la conservation de l'état de superposition
Une énorme difficulté a jusqu'ici arrêté les chercheurs : la difficulté de maintenir en état de superposition un ensemble de plus de 1 particule. La localisation ou l'impulsion d'une particule quantique en état de superposition ne peuvent être définies que par une probabilité statistique découlant elle-même de la fonction d'onde de la particule. Pour connaître exactement ces valeurs, il faut faire interférer la particule avec un instrument, comportant par définition une grande quantité d'atomes. Mais alors, la fonction d'onde  s'effondre et l'observateur n'obtient qu'une seule des deux valeurs, l'autre étant définitivement perdue, en application du principe d'indétermination. C'est ce que l'on appelle aussi le phénomène de la décohérence.
Il faut donc réaliser des systèmes microscopiques ou les qbits interagissent avec eux-mêmes et non avec ceux de l'environnement. C'est là l'enjeu essentiel de la course à  l'ordinateur quantique, engagée depuis une dizaine d'années dans les principaux pays du monde. Différents substrats et différentes méthodes de détection (par exemple la résonance magnétique nucléaire) sont actuellement expérimentés.
Il paraît possible aujourd'hui que la solution au problème du maintien de l'état cohérent d'un qbit apparaisse plus vite que prévu. Elle viendrait d'une des théories les plus abstraites de la physique contemporaine, la théorie des cordes (strings)

On a montré qu'il était possible d'entremêler les trajectoires dans le temps de particules quantiques pour former des tresses appelées braids comportant des núuds. Ceux-ci peuvent encoder de l'information et procéder à des calculs tout en résistant à la décohérence. Pour observer ces braids, on fait appel à des particules spéciales appelées non-Abelian anyons (dont on soupçonne l'existence sans avoir pu la mettre en évidence). Bornons-nous ici à signaler ces nouveaux concepts, qui seront à la base du fonctionnement des futurs ordinateurs quantiques dits topologiques, si ceux-ci voient le jour. Les recherches évoquées ici sont conduites dans différents laboratoires américains et surtout chez Microsoft, ce qui est significatif.
Toujours dans le cadre des difficultés, insistons sur le fait qu'avec l'ordinateur quantique, le résultat final d'un calcul n'étant déterminé que par des lois de probabilités, un calcul peut a priori donner n'importe quel résultat. Il faut donc disposer d'algorithmes qui permettent d'augmenter la probabilité que le système "décohère" dans l'état correspondant à la bonne réponse, sachant que lorsqu'on regarde un résultat dans un registre quantique (réseaux de qbits), tous les autres états disparaissent... Un vrai défi pour les théoriciens. Ajoutons qu'apprendre à manipuler couramment les particules en état de superposition cohérente constitue le sine qua non de toutes les applications possibles de la physique quantique.

Vers un ordinateur prétopologique à texturologie quantique
Nous avons vu que les trans-combinaisons T(n+1, n-p+1) = 2p .C(n, p) apportaient un facteur exponentiel au combinaison et par conséquent l'ordinateur prétopologique issu des trans-combinaison (plusieurs q-bits de propriétés différentes) fourniraient une quantité de solutions possibles beaucoup plus grande que l'ordinateur topologique issu des combinaisons.
Il utilisaerait une structure systémique à excitation basse fréquence pour la structuration (programmation des expériences) et haute fréquence pour le questionnement (calcul, logique, prélogique).

Aspects philosophiques :
- Pas seulement une topologie fait de classes et d'ordres mais une texture dynamique, une texturologie.
- Un monde quantique où les formes réelles non pas forcément les mêmes équations (modèles mathématiques) que les formes perceptuelles.
- Droit et devoir d'existence, de perceptance et de participance.
- Un monde quantique et pas forcément linéaire. Donc moins causale, plus libre.
- Chacun son chemin pas forcément tout seul en tout lieu en tout temps, en toute action.
- Pas forcément de tout partout en tout temps : chemin , partition, scénario, échange, commerce, découverte.
- Entre les sciences dures et les sciences molles : des sciences plastiques.
- Processus bouclés : analyse-traitement(prétraitement, choix, action, ou mise en forme, mise scène, mise en action)-synthèse, objet-sujet-projet, local-total-global, cantonance-transandance-immanence, concret-abstrait-virtuel, action-gradien-influence, matière-énergie-information.
- etc.
 

Bibliographical references :

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"Patrick Saint-Jean est ingénieur ESIEA, promotion 1975, avec un parcours d'ingénieur de recherche au CNET, CEA, CNES, INSERM (1974-86).
Dès 1979, il fonde deux coopératives de services pour le développement industriel, économique et social par les moyens de la microinformatique et des techniques de comunication. En 1989, il devient Docteur es-sciences en biologie, imagerie biomédicale de l'Université de Paris 13. Il est actuellement maître de conférence en Design à l'Ecole Normale Supérieure (Cachan) avec 30 ans d'enseignement supérieur, et depuis 2001, Président de Paris ACM-SIGGRAPH, professional and Student Chapter où il participe à la diffusion de la Culture numérique sur le plan international,"