La représentation dans l'espace des nombres complexes décrit totalement la texture en montrant les relations entre les sous-ensembles particuliers prétopologiques d'intérieur (Int), de semi-frontière intérieure (Sfi) et extérieure (Sfe), d'adhérence (Adh), d'extérieure (Ext), les sous-ensembles (A_i) et l'ensemble (X).

La texture prétopologique est définie par 6n+1 vecteurs complexes pour n sous-ensembles de l'ensemble X tels que :

Les vecteurs T₂, T₄, T₆ ont la même propriété que T₀ d'être des vecteurs réels. Et par conséquent, il est possible de considérer les sous-ensembles particuliers prétopologiques A, Adh(A) et X, comme l'intérieur de sous-ensembles participant à une texture dans d'autres ensembles organisés.

Si la semi-frontière extérieure est plus petite que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement concave (en boule ou renflements) dans son environnement.

Si la semi-frontière extérieure est plus grande que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement convexe (en creux) dans son environnement.

Si la semi-frontière extérieure est sensiblement égale à la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement très filaire long et épais ou très carré dans son environnement.

Les mesures de l'agrégation et de la dispersion sont proportionnelles respectivement au carré des modules des vecteurs T₀ et T₃ ou T₄.

Il existe d'autres propriétés remarquables à noter :

- quand les phases P₁, P₃ et P₅ ont même valeur.

- quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure.

- quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure et

la semi-frontière intérieure.

Quand les vecteurs complexes T₁, T₃ et T₅ ont une phase non nulle, il exprime un facteur de pondération sur leur module pour en diminuer leur importance (histogramme des cardinaux des sous-ensembles). Ainsi, si l'histogramme joue un rôle important dans la description topologique d'un ensemble, et de sa texture (histogramme local), on remarquera que la texture prétopologique pondère celui-ci en fonction de l'environnement des sous-ensembles et des propriétés qui les organisent en texture de l'ensemble.

Pour un système X composé de n sous-systèmes, le nombre total de paramètres de texture devient important. Les méthodes classiques de classification sont alors compliquées, prennent beaucoup de mémoire et de temps calcul. Le concept d'image multiparamétrique, stockée en mémoire image des ordinateurs, est introduit pour définir une représentation visuelle de la banque de données facilitant une méthode de classification multiparamétrique et multihiérarchique et une description automatique ou très interactive. La classification initiale est prétopologique, mais selon les propriétés du système ou les objectifs de l'observateur, une ou plusieurs topologies peuvent être mis en évidence (Saint-Jean 86, 87, 89).

Quand la texture systémique n'est pas homogène, l'étude de la répartition des sous-systèmes à isotexture est nécessaire. La classification multihiérarchique fournit des groupes d'isotexture. La visualisation de la répartition montre une texture des sous-systèmes à isotexture qui peut être analysée par les mêmes méthodes.

L'observation d'un système et son fonctionnement peuvent être considérés comme en psychophysiologique de la vision (Molnar 85) : le mouvement des yeux (ou des informations) est guidé par la perception de la texture (ou la texture elle-même). Il existe des états (ou zones) entre lesquels l'oeil (l'information) effectue des saccades (mouvements) avec une probabilité de transition calculable et identifiable à un processus markovien : A * Pi = Pi+1.

Le processus markovien classique, partant d'un vecteur quelconque initial (observation locale), convergent vers un vecteur d'équilibre représentant le pourcentage des classes de l'histogramme (observation globale). Les transitoires caractérisent le système dans le cas d'un processus linéaire. Mais le vecteur d'équilibre n'apporte pas plus d'information que l'histogramme. Par contre, dans des processus prétopologiques markoviens, où les sous-systèmes sont les intérieurs, les semi-frontières intérieures et extérieures, les vecteurs de transition montrent des non linéarités et le vecteur de convergence est différent de l'histogramme. L'interprétation est spécifique à chaque sous-système considéré.

Trois types de simulation sont réalisés :

- processus entre intérieurs et semi-frontières intérieurs : pour passer de l'intérieur d'un système à celui d'un autre, il est nécessaire de passer par la semi-frontière intérieure, du premier, en relation avec les semi-frontières intérieures des autres. Ainsi, chaque sous-système est considéré, non pas comme topologiquement uniforme où chaque élément a des échanges symétriques avec les autres éléments lui appartenant ou pas, mais comme une structure plus complexe où les relations ne sont pas nécessairement symétriques, les intérieurs et semi-frontières intérieures de chaque ensemble pouvant variés suivant le degré prétopologique.

- processus entre semi-frontières intérieures et extérieures : les échanges concernent les propriétés ou les actions en bordure intérieure des sous-systèmes (relation de type membranaire).

- processus entre intérieurs, semi-frontières intérieures et extérieures : les échanges s'effectuent entre l'intérieur et la semi-frontière intérieure de chaque ensemble puis par l'intermédiaire des semi-frontières intérieures en relation. L'agrégation et la dispersion interviennent simultanément.

Les processus prétopologiques markoviens sont donc importants pour la simulation de l'observation et du fonctionnement des systèmes.

Le traitement (organisation active structuro-fonctionnelle) réalisé avant l'analyse est appelé prétraitement. Mais dans les processus bouclés, le traitement peut être à la fois l'action suivant une analyse et précédant une autre analyse. La synthèse peut être le résultat d'une pure construction, mais également celui de traitements successifs et variés à partir d'un système initial (restructuration, réorganisations successives).

Plusieurs types de traitements de texture prétopologique sont réalisables:

- changement de texture locale suivant l'image multi- paramétrique des descripteurs absolus (filtrage prétopologique),

- transformation de textures prétopologiques par influence locale (érosion et la dilatation prétopologiques);

- l'équilibrage des textures par mise en jeu de règles soit antagonistes (lois du plus fort, du plus faible, des plus forts, des plus faibles) à stratégie unique (un seul contre tous) et multiple (les uns contre les autres), soit coopératrices.

Le traitement est plus rapide et plus efficace que celui effectué par les filtres numériques de type Laplacien ou convolution.

7 Conclusion :

Des résultats satisfaisants ont été obtenus en biologie cellulaire, à partir de la texture prétopologique des images numérisées. D'autres paramètres que ceux mesurant la texture prétopologique peuvent être également pris en compte dans les méthodes. Mais le modèle est suffisamment général pour être employées dans tout autre domaine de la systémique (Bode 49, Bertalanfy 73).

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