L'hexagone logique peut être interprété comme un modèle de la logique modale telle que :
    A est interprété comme la nécessité
    E est interprété comme l'impossibilité
    I est interprété comme la possibilité
    O est interprété comme la non nécessité
    U est interprété comme la non contingence
    Y est interprété comme la contingence

  
Hexagone et Cube logique d'un objet boroméen de René Guitar

           

  
       

A partir du moment où un graphe n'est pas complet (fermeture topologique, fermeture transitive), plusieurs graphes peuvent co-exister et être en interaction relationnelle.

Partant d'un structuralisme mathématique qui nous mène à la Théorie des Catégories, nous tenterons, en passant par les Structures topologiques et prétopologiques, une avancée vers une Théorie structuro-fonctionnelle-systémique par des Précatégories et préfoncteurs hétéromorphiques.

Les Structures

Une structure désigne toute théorie « plus forte » que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une théorie qui en contient tous les axiomes, signes et règles.

C'est donc une théorie « fondée » sur la théorie des ensembles, mais contenant également des contraintes supplémentaires, qui lui sont propres, et qui permettent également de définir de nouvelles structures qu'elle inclut. Cette notion est ainsi une puissante contribution à l'hypothèse selon laquelle la théorie des ensembles fournit le fondement des mathématiques.

Ce terme est à l'origine de ce que l'on a appelé le structuralisme mathématique.

Un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure. Cette notion de morphismes est fondamentale en mathématique. Elle permet de comparer et de relier les objets mathématiques entre eux.

Un morphisme de structure transporte la loi de structure, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des structures par les morphismes.

La notion de morphisme est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne un sens bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une application, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles : la flèche peut relier deux structures d'une même espèce, par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels.

Les morphismes ont des applications particulièrement importantes en physique moderne, en particulier la mécanique quantique.

Nous verrons alors comment à partir d'un structuralisme hétéromorphique nous cherchons une texture prétopologique et une texturologie quantique prétopologique relationnelle d'une autre nature mais qui se retrouve dans une Topologie augmentée utilisant des andromorphismes (hétéro et homo morphisme).

Prétopologie selon Marcel Brissaud et le groupe Z. Belmandt,
repris par l'association Pretopologics

Longtemps les ensembles ont été considérés comme un monde de patatoïdes, un peu comme des météorites galactiques (des sacs de marrons ou boîte d'allumettes pour les enfants).

La physique les a peuplés de particules et de molécules (Atomium) et de galaxies.

La théorie de l'information les met en réseaux de réseaux que la théorie des graphes habille en nœuds, arrêtes ou sommets, mis en relation par des liens ou arcs, (ponts, passerelles ou bords à tirer), formant des parcours (chaînes, cycles, chemins ou circuits), mais aussi des structures.

En topologie algébrique, si les graphes représentent un ensemble de même propriété, de même nature, les paramètres mis en jeu seront des quantités de pondération des nœuds et de liens, mis en relation par des formules (sommes pondérées, etc.)

En topologie, proprement dit, se sont les relations entre noeuds créant des structures particulières, engendrant des fonctionnalités statiques ou dynamiques particulières .

Et les degrés de proximités successives ou de positions relatives entre-eux vont prendre de l'intérêt.

On voit bien que se sont les classes d'équivalence et d'ordre qui organisent les structures.

Et tout graphe de sommets variés est décomposé en sous graphes connexes superposés.

Nous utiliserons les travaux exprimés par Vincent Levorato dans sa thèse de 2010 en informatique : Contributions à la Modélisation des Réseaux Complexes : Prétopologie et Applications.

Nous y retrouvons les définitions explicitées dans les ouvrages de Prétopologie chez Hermès (1993) et Hermann (2009). 

Ainsi :

« L’historique de cette idée débute dans les années 20 quand Fréchet visait à construire une topologie ayant moins d’axiomes [33]. Puis Appert reprit ces travaux dans les années 30, suivi par Monteiro dans les années 40 puis par Ky-Fan. Dans les années 60, Cech décrivait dans son ouvrage des structures topologiques privées de l’axiome idempotence [20]. C’est au début des années 70 que des chercheurs français (Marcel Brissaud, Gérard Duru, Jean-Paul Auray, Michel Lamure [...] pour ne citer qu’eux) débuteront leurs travaux sur la prétopologie et comment trouver une formalisation du concept de proximité, afin de résoudre des problématiques difficiles liées à la contrainte de l’outil mathématique utilisé, ici la topologie. Dans le cadre de mes travaux, la prétopologie est à mon sens l’outil permettant d’aller plus loin que la théorie des graphes habituellement utilisée pour représenter les réseaux. Son cadre général, ainsi que sa capacité à représenter la dynamique d’un système en font l’outil adéquat pour la modélisation des réseaux complexes. Dans cette partie, des définitions liées à la prétopologie sont données, ainsi qu’une définition générale d’un réseau. Nous proposerons ensuite des choix de structures de données adaptées dans le but de limiter la complexité des opérations afin de pouvoir construire des simulations exploitables, que nous appliquons sur plusieurs problématiques ».

La théorie de la prétopologie

Cette section énonce les définitions de la prétopologie utilisées pour les travaux de recherche présentés dans ce mémoire, l’ouvrage de référence [7] contenant une présentation exhaustive de la prétopologie.

[7]  Z. Belmandt. Manuel de prétopologie et ses applications : Sciences humaines et sociales, réseaux, jeux, reconnaissance des formes, processus et modèles, classification, imagerie, mathématiques. Hermes Sciences Publications, 1993.

Espace prétopologique

Soit E un ensemble non vide, et soit P(E) l’ensemble des parties de E.

Définition de l'adhérence

Soit une application a : P(E) → P(E) appelée adhérence et définie comme suit :

∀A, A ⊆ E l’adhérence de A, a(A) ⊆ E est telle que :

• a(∅) = ∅ (P1)

• A ⊆ a(A) (P2)

L’adhérence est associée au processus de dilatation.

De plus, a(.) peut être appliquée à A selon une séquence : A ⊆ a(A) ⊆ a2(A) ⊆ ... .

Cela signifie que l’on peut suivre le processus pas à pas, ce qui n’est pas possible avec la topologie,

qui conserve la propriété d’idempotence (a(A) = a²(A)) [17].

Grâce à l’adhérence, on peut directement modéliser la notion de proximité. En terme de complexité, le coût d’une adhérence sera étudié lors de la partie concernant les structures de données utilisées en prétopologie.

Définition de l'intérieur

Soit une application i : P(E) → P(E) appelée intérieur et définie comme suit :

∀A, A ⊆ E l’intérieur de A, i(A) ⊆ E est telle que :

– i(A) = [a(A^c )]^c (P1)

– i(A) ⊆ A (P2) avec A ^c le complémentaire de A soit E − A.

L’intérieur est quant à lui associé au processus d’érosion.

Notons que la propriété 1 de l’intérieur amenant la dualité n’est pas toujours vraie.

Il est possible de définir une application intérieur indépendamment de l’adhérence.

Dans le Z. Belmandt (Hermes, 1993, p 25-30), qui rappelle un peu la morphologie mathématique de Matheron et Serra, l'adhérence est définie par un processus d'extension (dilatation) de P(E) → P(E) tel que ∀A appartenant à P(E), a(A) inclu A.

Un autre processus dual dit d'érosion définit l'intérieur i de P(E) → P(E) tel que ∀A appartenant à P(E), i(A) est inclu dans A.

On appelle espace prétopologique le triplet (E,i,a) dont les applications i et a sont définies précédemment.

Fermés et Ouverts, Fermeture et Ouverture

Le processus de dilatation généré par l’adhérence s’arrête à un instant donné et n’évolue plus. Dans ce cas, on a a^k+1(A) = a^k(A). On nomme A comme étant un sous ensemble fermé. De la même manière, l’évolution de l’intérieur va cesser, ce qui nous donne i^k+1(A) = i^k(A). Cette fois, on nomme A comme étant un sous ensemble ouvert.

Respectivement, on utilise les notations F(A) pour la fermeture de A et O(A) pour l’ouverture de A. La complexité d’un fermé, si on prend l’adhérence comme opération de base, se fait au pire en O(n × coût d’une adhérence).

Fermés élémentaires et fermés minimaux

On appellera fermé élémentaire et on notera Fx, la fermeture d’un singleton {x} de E. On note Fe(E, a) ou Fe, l’ensemble des fermés élémentaires de E :

L’algorithme (Alg. 2.2.3) permet le calcul de la famille des fermés élémentaires , et si on prend comme opération de base l’adhérence, la complexité de cet algorithme qui comprend deux boucles imbriquées est, dans le pire des cas, en O(n2 × coût d’une adhérence).

On appelle fermé minimal de E, tout élément de F(E,a), minimal au sens de l’inclusion. L’ensemble des fermés minimaux est noté : Fm(E,a) ou Fm. Un résultat important est que tout fermé minimal est obligatoirement élément de Fe, c’est à dire un fermé élémentaire. Déterminer les fermés minimaux revient donc à explorer les éléments de Fe et en extraire les éléments minimaux par la relation d’inclusion. L’algorithme [15] permettant le calcul de la famille des fermés minimaux (Alg. 2.2.3), comprend également deux boucles imbriquées, donc la complexité dans le pire des cas est en O(n2) (l’adhérence n’intervient pas dans ce cas).

Espace prétopologique de type V

Un espace prétopologique général comme défini ultérieurement ne présente que peu d’intérêt en l’état, car il est difficile d’en faire une analyse.

Il faut donc amener une nouvelle propriété pour rendre cet espace prétopologique plus «intéressant», d’où la définition d’un nouvel espace prétopologique : le type V.

Un espace prétopologique de type V (E,i,a) est défini comme suit :

∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec a(A) ⊆ a(B)

∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec i(A) ⊆ i(B)

D’autres types d’espaces existent :

Espace prétopologique de type Vd

Un espace prétopologique de type Vd (E,i,a) est défini comme suit :

∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec a(A ∪ B) = a(A) ∪ a(B)

∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec i(A ∩ B) = i(A) ∩ i(B)

Tout espace de type Vd est de type V.

Espace prétopologique de type Vs

Un espace prétopologique de type Vs (E,i,a) est défini comme suit :

∀A, A ⊆ E, avec a(A) = ∪ a({x}) ∀ x∈A

Un espace de type Vs est clairement de type Vd.

Les applications a et i ne sont pas forcément idempotentes.

On ne doit pas confondre une prétopologie de type Vs et une topologie.

Les types d’espaces les plus utilisés dans nos études sont les types V et Vs .

Préfiltre et base de voisinage

Comme écrit plus haut, le concept de proximité en prétopologie est fondamental, c’est pour cela qu’il nous faut définir ce que l’on appelle «être proche » d’un élément, autrement dit être dans le voisinage de cet élément. Pour cela il faut définir ce voisinage par un préfiltre et une base de voisinage.

Préfiltre

Une notion essentielle de la topologie est la notion de filtres, qui conduit à celle de voisinage. En prétopologie, non seulement nous conservons cette notion, mais nous définissons en outre celle de préfiltre.

Une partie F de P(E) est un préfiltre sur E si elle vérifie la propriété de stabilité par passage à tout sur-ensemble :

∀ F ∈ F,∀ H ∈ P(E), F ⊂ H ⇒ H ∈ F Soit (E,i,a) un espace prétopologique de type V.

Pour tout x de E, on définit le préfiltre V (x) de parties de E par :

V(x)={V ⊆ E/ x∈i(V)} Les éléments de V(x) sont appelés voisinage de x.

Pour comprendre la relation avec les applications adhérence et intérieur, on les définit à partir d’un préfiltre V(x) :

a(A)={x∈E/ ∀V, V ∈V(x),V ∩A ≠ ∅}

i(A)={x∈E/ ∀V, V ∈V(x), V ⊆A}

Base de voisinage

Soit B(x) la base de V(x) définie comme suit :

∀ V, V ∈ V(x), ∃B, B ∈ B(x), B ⊆ V

On définit ainsi l’adhérence comme suit : a(A) = {x ∈ E/ ∀ B, B ∈ B(x), B ∩ A≠ ∅}

Il existe plusieurs manières de définir la base de voisinage selon la problématique étudiée.

Par exemple, dans [52], on définit une population où les éléments sont reliés par une ou plusieurs relations binaires Ri réflexives, soit pour tout i, la partie Bi(x) étant construite pour chaque x appartenant à E de la manière suivante :

Bi(x) = {y ∈ E/ x Ri y}.

Un autre cas tiré de [48] où E est doté d’une métrique définie par une distance et où la base de voisinage pour chaque x appartenant à E et r ∈ R+ est définie comme suit :

B(x,r) = {y ∈ E, d(x,y) ≤ r}

Modélisation d’un réseau par la prétopologie

Il y a plusieurs raisons pour utiliser la théorie de la prétopologie dans la modélisation des réseaux : les modèles utilisant la théorie des graphes ont certaines limites.

- Premièrement, on ne peut pas dissocier les liens : orientés ou non, ils sont tous de nature identique. Si l’on veut utiliser n différentes relations entre les noeuds, il faut construire n graphes différents ce qui semble peu pratique [54].

- Deuxièmement, tous les modèles utilisant la théorie des graphes présentés jusqu’alors dans les études récentes ont au moins une propriété qui ne correspond pas aux réseaux du réel [56].

- Et troisièmement, les relations se font par paires de noeuds, on ne peut donc pas avoir de relations entre un groupe de noeuds et un noeud par exemple.

Les hypergraphes répondent à ce problème, mais sont un cas particulier d’espace prétopologique [7].

Où les autres modèles ont échoué, la théorie de la prétopologie peut apporter une réponse.

Définition d’un réseau en prétopologie

Un réseau peut être défini comme une famille de relations binaires ou valuées définies sur une population donnée [24].

La dynamique du réseau est basée sur des opérations telle que l’arrivée de nouveaux éléments, l’éviction d’éléments existants, la formation de groupe ou la séparation en sous-groupes (voir Fig. 2.3). Ces phénomènes sont souvent observables dans les réseaux sociaux sous forme de communautés [5] mais également dans le cas des réseaux de manière plus générale.

Dans le cadre de la prétopologie, un réseau est une famille de prétopologies sur un ensemble donné [23], d’où la définition suivante :

Soit X un ensemble : soit I une famille dénombrable d’indices ; soit {a_i, i ∈ I} une famille de prétopologies sur X_i ; la famille d’espaces prétopologiques {(X, a_i), i ∈ I} constitue un réseau sur X.

Structures de données adaptée à la prétopologie

Comme précisé précédemment, les deux types d’espaces prétopologiques qui nous intéressent sont le type V et le type Vs. Ces deux espaces ne sont pas tout à fait basés sur le même type de structure de données. Mais quelle structure de données serait assez efficace pour permettre des opérations rapides sur de tels espaces ? A notre sens, la structure de données la plus efficace est la table de hachage.

Modélisation des réseaux complexes par la théorie des graphes

Coefficient de regroupement, assortativité et d’augmentation d’un graphe.

Le coefficient de regroupement C également appelé ”clustering coefficient” est la probabilité que deux voisins d’un sommet donné soient voisins entre eux. Cela correspond à la densité locale d’un sommet. Soit di le degré d’un sommet i,

C(i) = 2 × |nbre de liens entre les voisins de i/ di(di − 1)

Le degré de corrélation se calcule grâce à la moyenne des degrés des voisins d’un noeud. Pour faire simple, cela répond à la question : est-ce que dans un réseau, les sommets ayant un degré élevé sont de préférence connectés à d’autres sommets avec un degré élevé, ou sont plutôt connectés à des sommets ayant un faible degré ?

Degré moyen des voisins d’un sommet i (avec arêtes pondérées) :

Assortativité d’un graphe :

Un graphe augmenté G = (V,E,E′) est un graphe obtenu à partir d’un graphe H = (V,E), en ajoutant un ensemble d’arêtes supplémentaires E′ sur V . La distance sous-jacente de u à v dans G est la distance de u à v dans H.

Pour finir, on analyse souvent la distribution des degrés des sommets d’un graphe (Fig. 1.13). Deux distributions de degrés sont connues :

– une distribution homogène des degrés des noeuds (selon une loi de Poisson) – une distribution hétérogène des degrés des noeuds (selon une loi de Puissance)

Espaces de Texture Prétopologique selon Patrick Saint-Jean

Dès 1967, Patrick Saint-Jean développe des travaux en Musiques Formelles (Iannis Xenakis) où il se confronte à des problèmes de combinatoire et de permutation en architecture sonore qui ne satisfont pas à ses problématiques de texture sonore, timbrale et orchestrale. Il montre qu'il existe des trans-combinaisons, combinatoire entre des ensembles de natures différentes ou d'un ensemble avec son environnement, fondées sur la représentation du cube dans la n-ième dimension, alors que la combinatoire est fondée sur la représentation du triangle dans n-ième dimension (triangle de Pascal).

Parallèlement une « texturologie prétopologique » va se mettre en place entre Patrick Saint-Jean et le berceau lyonnais : en 1971, Jean-Pierre Landrieu, professeur de mathématique à l'ESIEA signale dans son cours de Topologie, l'existence de quasi, pseudo et pré-topologie invitant les élèves à s'y intéresser dans leur projet. Pour stimuler la recherche et la démonstration mathématique, les seules informations qu'il donnera sur la pré-topologie est « d'enlever le quatrième axiome des voisinages topologiques » sans dévoiler les travaux de Marcel Brissaud et Gérard Duru.

Dans son projet Patrick Saint-Jean développera une systématique de la démonstration à partir de la Théorie des Catégories et démontrera les prévoisinages à partir des travaux de N. Bourbaki et ceux de Lipschutz, qu'il fera évoluer en 73 pour des besoins de topologie de réseau à destruction partielle avec les processus markoviens prétopologiques, puis en 74 au CEMAMu-CNET avec les textures de quanta sonores et de textures prétopologiques incorporable dans l'UPIC qu'il a conçu en 1975 pour Iannis Xenakis, et dès 74 au CEA avec les textures prétopologiques d'image en microscopie quantitative. Alors qu'il a déjà mis en place les Texturologies Quantiques Prétopologiques (1982), en 2004, il s'aperçoit que ses travaux initiaux son proche de Gérard Duru, mais les relations se mettront en place qu'avec Michel Terrenoire et Michel Lamure (dans un seul sens) puis dans les deux avec Hubert Emptoz qui sera rapporteur de sa thèse en 1989. Ce n'est qu'en 2010 qu'il rejoindra l'association Pretopologics où il découvre une floraison de chercheurs sur les systèmes complexes, mais qui sont restés dans la catégorie topologique à relation par foncteur transitif.

Avec un peu d'humour, à l'instar de Leibniz qui écrit à 18 ans en 1666, "De l'art combinatoire", point de départ d'une réforme profonde de la logique et d'importantes recherches en mathématiques, Patrick Saint-Jean écrit un calcul trois siècles après, en 1967 à 18 ans qui annonce peut être celui "De l'art trans-combinatoire". Humour caractérisé par le fait qu'en art, passer de la triologie à la tétralogie rajoute aux trois tragédies celui du drame satyrique. Ce qui est le cas de la combinatoire comme représentation du triangle dans la n-ième dimension (triangle de Pascal) alors que la trans-combinatoire est la representation du cube dans la n-ième dimension. On remarquera que la variété trans-combinatoire est beaucoup plus grande que la variété combinatoire. Elle introduit le point de vue local et la combinaison d'éléments de propriétés différentes ou la relation d'adjacence n'est pas transitive.

D'où toute son importance dans les jeux et les finances spéculatoires, mais aussi dans le besoin de résoudre des problèmes d'ordre humain et sociologique où la philosophie de la relation et de la différence du construire ensemble prend toute son importance dans l'analyse et la démocratie participative, un peu comme l'apport de l'urbanisme à l'architecture.

Pour information détaillée sur les travaux initiaux résultats des années 70-80, voici les publications en anglais,

TQPMAMUPHI/PretopologicalTheoryPSt-Jean.html

TQPMAMUPHI/PretopologicalTextureModelPSt-Jean.html

ainsi que le mémoire d'ingénieur ESIEA 1977, et le mémoire de thèse de doctorat 1989 de l'Université de Paris XIII.

TQPMAMUPHI/MemoireESIEA1977PatrickSaint-Jean.html

TQPMAMUPHI/TheseParis13GBM1989PatrickSaint-Jean.html

   

Transitif, pas transitif, non transitif, anti-transitif, intransitif ?

La question est posée posant tant des problèmes d’anglicisme que de mathématique.

En théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble.

Un ensemble X est dit transitif si

tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X

c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) :

∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X)

ce qui revient à (en notant ∪X la réunion des éléments de X) :

∪X ⊂ X.

On parle également de classe transitive, avec la même définition : tout ensemble élément de la classe est également une partie de celle-ci.

L'ensemble vide et le singleton {∅} sont des exemples d'ensembles transitifs. Par contre le singleton {1} (où 1 = {∅}) n'est pas transitif :

mais (car ).

Ordinaux

Les entiers de von Neumann sont des ensembles transitifs :

, , , , , … ,, ...

Par exemple, pour l’ordinal on a et . En effet et .

De façon plus générale les ordinaux de von Neumann, dont les entiers précédents sont les premiers éléments, sont aussi des ensembles transitifs. On peut d'ailleurs les définir comme les ensembles transitifs sur laquelle l'appartenance définit une relation d'ordre strict dont l'ordre large associé est un bon ordre. La classe de tous les ordinaux est une classe transitive : les éléments d'un ordinal sont des ordinaux.

Par transitivité l'appartenance entre deux ordinaux entraîne l'inclusion. On démontre que la relation d'inclusion sur les ordinaux est en fait la relation d'ordre large associée à l'appartenance (« appartient ou égal »).

Clôture transitive

On montre dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), que pour tout ensemble X, il existe un unique ensemble transitif Y contenant X et contenu dans tout ensemble transitif contenant X. On l'appelle clôture transitive de X. La clôture transitive est définie par récurrence sur les entiers naturels, représentés par les entiers de von Neumann dans le cadre ensembliste (on note ∪A la réunion des éléments de A, et ω l'ensemble des entiers de von Neumann) :

Y₀=X ; Y_n+1=∪Y_n ; Y = ∪_{n ∈ ω}Y_n

Cette définition utilise le schéma d'axiomes de remplacement (pour que la suite des Y_n soit bien une fonction, au sens ensembliste, définie sur ω).

• L'ensemble Y est bien transitif : si x ∈ Y, alors pour un certain entier n, x ∈ Y_n, et donc, par construction de Y_n+1, x ⊂ Y_n+1.

• Par récurrence sur l'entier n, tout ensemble transitif contenant X contient Y_n.

The transitive closure of a binary relation R on a set X is the transitive relation R⁺ on set X such that R⁺ contains R and R⁺ is minimal (Lidl and Pilz 1998:337).
If the binary relation itself is transitive, then the transitive closure is that same binary relation; otherwise, the transitive closure is a different relation.
For example, if X is a set of airports and x R y means "there is a direct flight from airport x to airport y", then the transitive closure of R on X is the relation R⁺: "it is possible to fly from x to y in one or more flights."

La fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des ensembles.

La fermeture transitive d'une relation binaire sur un ensemble est la plus petite relation transitive sur contenant 1.
Si la relation est transitive, alors on a l'égalité .
Sinon, la fermeture transitive est définie comme :

Ce qui peut également se traduire ainsi :

La fermeture transitive d'un graphe est un graphe tel qu'il existe un arc entre toute paire de sommets entre lesquels il existe un chemin. Ceci s'exprime également ainsi :

A transitive reduction of a binary relation R on a set X is a minimal relation on X such that the transitive closure of is the same as the transitive closure of R. If the transitive closure of R is antisymmetric and finite, then is unique. However, neither existence nor uniqueness of transitive reductions is guaranteed in general.

In graph theory, any binary relation R on a set X may be thought of as a directed graph (V, A), where V = X is the vertex set and A = R is the set of arcs of the graph. The transitive reduction of a graph is sometimes referred to as its minimal representation. The following image displays drawings of graphs corresponding to a non-transitive binary relation (on the left) and its transitive reduction (on the right).

The transitive reduction of a finite directed acyclic graph is unique.

The transitive reduction of a finite partially ordered set is its covering relation, which is given visual expression by means of a Hasse diagram.

The transitive reduction of an acyclic relation can be computed using its transitive closure :

La transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire, mais non exclusive.

Une relation binaire définie sur un ensemble est transitive quand, à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement :

.

Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.»

On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement :

.

On dit alors que la relation binaire est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante :

.

On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi).

Les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables : aucune des deux n'entraîne l'autre, en particulier une relation, même non vide, peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y, z) vérifiant x R y et y R z).

Des exemples naturels montrent la variété de situations entre le transitif, le non transitif, l'anti-transitif et l'intransitif :

Le voisin de mon voisin est mon voisin, mais pas toujours.

L'ami de mon ami est mon ami, mais pas toujours.

Le voisin de mon voisin n'est jamais mon voisin.

L'ami de mon ami n'est jamais mon ami.

L'ennemi de mon ennemi n'est pas forcément mon ennemi.

L'ami de mon ennemi n'est pas forcément mon ennemi.

La différence de la différence n'est pas forcément la différence.

L'indifférence de l'indifférence n'est pas forcément l'indifférence.

Le ressemblance de la ressemblance n'est pas forcément la ressemblance.

La relation "est le père de" est anti-transitive : si (a est le père de b) et (b est le père de c), alors (a n'est pas le père de c).

Une relation de différence dans un ensemble est une relation binaire qui est à la fois réflexive, symétrique et non transitive. Ne pas confondre avec les relations de différenciation sur le quantitatif. La différence est de nature qualitative.

Des dés non transitifs sont un ensemble de dés où, si un premier dé a plus de chances de donner un plus grand résultat qu'un deuxième et si celui-ci a plus de chance qu'un troisième, ce dernier peut tout de même avoir plus de chance de l'emporter sur le premier.

En d'autres termes, la relation « a une plus grande probabilité de donner un plus grand nombre » n'y est pas transitive.

Cette situation est similaire à celle du jeu pierre-feuille-ciseaux où chaque élément gagne par rapport à l'un des deux autres et perd par rapport au dernier.

Le phénomène de Rogers, attribué à Will Rogers, est un paradoxe qui fait monter la moyenne de deux ensembles lorsqu'on déplace un élément de l'un vers l'autre.

Le jeu de Tic tac toe est une jeu de transitivité non-transitivité.

Chez les anglophones :

• A relation is intransitive if it is not transitive.

• In freemasonry: it may be the case that lodge A recognizes lodge B, and lodge B recognizes lodge C, but lodge A does not recognize lodge C. Thus the recognition relation among Masonic lodges is intransitive.

Often the term intransitive is used to refer to the stronger property of antitransitivity.

We just saw that the feed on relation is not transitive, but it still contains some transitivity: for instance: humans feed on rabbits, rabbits feed on carrots, and humans also feed on carrots.

The term intransitivity is often used when speaking of scenarios in which a relation describes the relative preferences between pairs of options, and weighing several options produces a "loop" of preference:

• A is preferred to B

• B is preferred to C

• C is preferred to A

Rock, paper, scissors is an example.

Assuming no option is preferred to itself i.e. the relation is irreflexive, a preference relation with a loop is not transitive. For if it is, each option in the loop is preferred to each option, including itself. This can be illustrated for this example of a loop among A, B, and C. Assume the relation is transitive. Then, since A is preferred to B and B is preferred to C, also A is preferred to C. But then, since C is preferred to A, also A is preferred to A. Therefore such a preference loop (or "cycle") is known as an intransitivity.

Notice that a cycle is neither necessary nor sufficient for a binary relation to be not transitive. For example, an equivalence relation possesses cycles but is transitive. Now, consider the relation "is an enemy of" and suppose that the relation is symmetric and satisfies the condition that for any country, any enemy of an enemy of the country is not itself an enemy of the country. This is an example of an antitransitive relation that does not have any cycles. In particular, by virtue of being antitransitive the relation is not transitive.

Analogously, in economics intransitivity can occur in a consumer's preferences. This may lead to consumer behaviour that does not conform to perfect economic rationality. In recent years, economists and philosophers have questioned whether violations of transitivity must necessarily lead to 'irrational behaviour' (see Anand (1993)).

A BinaryRelation rel is intransitive only if (rel inst1 inst2) and (rel inst2 inst3) imply not (rel inst1 inst3), for all inst1, inst2, and inst3.

Quasitransitivity is a weakened version of transitivity that is used in social choice theory or microeconomics. Informally, a relation is quasitransitive if it is symmetric for some values and transitive elsewhere.

A binary relation T over a set X is quasitransitive if for all a, b, and c in X the following holds:

If the relation is also antisymmetric, T is transitive.

Alternately, for a relation T, define the asymmetric part P:

Then T is quasitransitive iff P is transitive.

Preferences are assumed to be quasitransitive (rather than transitive) in some economic contexts. The classic example is a person indifferent between 10 and 11 grams of sugar and indifferent between 11 and 12 grams of sugar, but who prefers 12 grams of sugar to 10.

Nous voyons donc qu'il existe une dualité entre le transitif et le non-transitif qui peut se réunir dans la transitivité partielle ou la non-transitivité partielle.

Faire vivre cette dualité, c'est accepter qu'il existe des morphismes et des foncteurs hétérogènes formant des précatégories et des prétopologies androgènes.

On dira que tout est question de voisinage, ou plutôt de prévoisinage homomorphique ou hétéromorphique voire andromorphique où le dosage est plus subtil et plus riche en variétés de structures et de fonctionalités.

Ces textures prétopologiques nous guiderons naturellement vers les texturologies quantiques prétopologiques pour les grandes collections finies et à structures dynamiques.

Voisinage et prévoisinage

Espace topologique et relation binaire transitive

Soit une topologie T sur un ensemble X définie à partir d'une famille V(x) de sous-ensembles de "voisinages de x", satisfaisant pour chaque élément x de X aux quatre axiomes suivants :

Toute partie de X contenant un élément de V(x) appartient à V(x) :

Toute intersection finie d'éléments de V(x) appartient à V(x) :

V(x) est non vide et x appartient à tous les éléments de V(x) :

Pour tout élément x de X et V1 de V(x), il existe un élément V2 de V(x) tel que pour tout élément y appartenant à cet autre élément V2 de V(x), le premier élément V1 de V(x) appartient aussi à V(y) :

Alors V(x) est un système de voisinages de x, et (X,T) est un espace topologique défini sur X (Bourbaki 64, Lipschutz 65).

Soit, dans ce même ensemble X, un sous-ensemble A(x), possédant x et une relation binaire R dans X telle que :

THEOREME : Les propriétés de réflexivité et de transitivité de la relation binaire définissent un espace topologique sur un ensemble.

Les relations binaires ayant des propriétés de réflexivité et de transitivité, sont les relations d'équivalence et d'ordre, la propriété de symétrie et d'anti-symétrie les différenciant.

Espace prétopologique et relation binaire non transitive

Pour obtenir un espace prétopologique de l'espace topologique, il est nécessaire que les propriétés des éléments de l'ensemble X ne satisfassent pas à l'axiome (4) des voisinages.

THEOREME : Les propriétés de réflexivité et de non transitivité d'une relation ne définissent pas un espace topologique sur un ensemble mais un espace prétopologique.

Remarque : La non transitivité est soit l'intransitivité dans un espace à une dimension, soit une transitivité partielle dans les espaces de dimension supérieure.

En fait l'absence de l'axiome (4) est insuffisant pour définir les prévoisinages et il est préférable de définir un axiome de prévoisinage (4-bis), compatible avec la non transitivité de la relation binaire : 

Pour tout élément x de X et V de V(x), il existe au moins un élément y de X, différent de x, et appartenant à V' de V(x) tel que V n'appartient pas à V(y) :

Cet axiome permet d'une part de construire un espace prétopologique sans passer par un espace topologique et d'autre part de différencier celui-ci des autres espaces prétopologiques construits à partir de propriétés différentes. Si nous percevons et décrivons un ensemble par l'aspect relationnel de ses éléments, il est restrictif et particulier d'utiliser uniquement des relations d'équivalence ou d'ordre nécessairement topologiques.

Espace de texture prétopologique et composition de relations

Une faculté de la perception est de comparer des espaces, des instants, des concepts, pour construire des sous-ensembles par rapport à leurs propriétés intrinsèques, et par rapport aux autres sous-ensembles ayant des propriétés intrinsèques différentes et qui du fait de ces différences engendre des configurations et des dispositions à l'intérieur de l'ensemble liés aux arrangements et liaisons des éléments et groupes d'éléments.

La composition mathématique de relations binaires donne pour résultat soit une relation transitive, si et seulement si toutes les relations composées sont des relations transitives, soit une relation non transitive, si et seulement si au moins une seule des relations composées est une relation non transitive.

Ainsi la composition des relations binaires nous permet de prendre en compte des frontières liées aux différences par les relations non transitives et des groupes liés aux similitudes par les relations transitives, et de créer des interférences entre des propriétés des deux genres, le résultat étant une relation non transitive définissant sur l'ensemble observé un ESPACE DE TEXTURE PRETOPOLOGIQUE, qui est un espace prétopologique.

L'existence d'interférences entre des propriétés définit pour nous la notion de TEXTURE.

Nous pouvons donc en différencier deux types :

• la TEXTURE TOPOLOGIQUE dont les interférences sont créées entre relations transitives,
  

• et la TEXTURE PRETOPOLOGIQUE dont les interférences sont créées entre relations transitives et non transitives. Les textures issues d'une seule relation sont dites dégénérées car non génériques d'interférences, par conséquent très limitatives dans la description de la texture.

  Les textures topologiques créent des interférences disjointes donc pauvres. En effet les informations de texture topologique donnent une connaissance de type objet isolé et non de type relationnel comme les textures prétopologiques.

Méthodes de construction des espaces de texture prétopologique

Pour définir l'organisation structuro-fonctionnelle d'un ensemble, soit comme espace topologique, ou espace prétopologique, ou espace de texture prétopologique, plusieurs chemins peuvent être suivis suivant l'objectif et les moyens utilisés :

- L'état de fait : par connaissance, par vérification ou par définition, les éléments de l'ensemble possèdent les propriétés qui définissent l'organisation de l'ensemble.

- L'état d'observation statique : dans des conditions donnés, l'observateur perçoit des propriétés qui définissent l'organisation de l'ensemble. La délimitation des champs d'observation et des moyens de mesure quantitative ou qualitative, masque, inhibe, dévoile ou stimule les propriétés des éléments qui définissent le type d'espace de représentation.

- Le processus d'observation : l'observateur a des moyens d'action sur l'environnement observé et sur son observation. L'observateur se déplace dans l'environnement et dans les espaces mathématiques par ajout ou retrait de propriétés selon l'existence ou non d'après vérification ou simulation. Ici l'observateur peut donc faire varier des degrés (résolution) ou des bornes (offset, gain) pour faire changer la perception des éléments (plage de mesure, contraste et différentiation optimisés) avec un controle visuel ou de façon automatique algorithmique ou régulée (mesure-analyse-traitement-synthèse-choix-action de réglage en boucle donnant une série convergente aux frontières irréductibles).

Espace discret et ensemble des paramètres

Soit une banque de données, fournie par l'observation d'un système complexe, et représentée par un ensemble X de N éléments x_i, points de l'image d'une entité réelle ou abstraite perçue et placée dans l'espace d'informations :

X = { x_i / i = { 1,...,N } }

Les points d'une telle image ont des propriétés quantitatives ou qualitatives. Un type de propriété constitue un paramètre de l'image. La propriété elle-même quantifiée donne la valeur de la mesure ou, si elle est numérotée, la valeur du paramètre.

Les paramètres sont indicés suivant les entiers naturels :

J = { 1,2,...,n }, où n est le nombre total de paramètres.

Par exemple, ces paramètres sont temporels (instant, durée) ou spatiaux (lieux, coordonnées, distances, zones, etc.) ou qualitatifs quantifiés (fonctions, critères morphologiques, critères subjectifs, impressions, etc.). Soit un point muni d'une propriété, noté x_ij. Un point de l'image muni de l'ensemble de ses propriétés est un ensemble de points paramétrés :

Un système informatique est capable de mesurer ou de calculer, sur l'image "mentale" de l'environnement réel observé, un ensemble I de paramètres indicés par J. Dans cet ensemble I, il est possible de définir des sous-ensembles I' de paramètres mis en jeu par le système sur une image donnée.

Remarque : le point image x_i est une entité virtuelle ; sa représentation ne peut se faire que par la visualisation du point muni de ses propriétés x_ij, j appartenant à I'.

Relations entre les paramètres :

Soient sur l'ensemble de points paramétrés de l'image, des relations binaires réflexives séparables en deux groupes par leur propriété de transitivité et de non transitivité.

La relation transitive positionne de façon générale les éléments x_ij de X en relation avec un élément x_kj donné quand ce dernier parcourt X :

x_ij R1 x_kj <==> x_ij et x_kj ont une propriété équivalente j

x_ij R2 x_kj <==> x_ij et x_kj ont une propriété ordonnée de type j

La propriété de transitivité donne une PERCEPTION GLOBALE de la relation entre les éléments de l'ensemble X. En effet xij en relation avec x_kj peut être n'importe quel élément de X. La relation concerne le même type de propriété j pour les deux éléments. C'est une mesure relationnelle absolue car elle positionne des points par rapport à chaque autre point pris pour référence absolue pour lui donner une propriété. C'est donc une relation d'état.

La relation non transitive positionne de façon particulière les éléments x_ab de X par rapport à un élément x_cd parcourant X.

x_ab R3 x_cd <==> x_cd inclut x_ab dans sa propriété d quelque soit b

Par exemple, dans ce cas, la propriété d des x_cd est d'être associés à des x_ab, quel que soit leur propriété b, pour former un entourage, une zone, une distance, une structure ou une fonction.

La propriété de non transitivité donne une PERCEPTION LOCALE de la relation entre les éléments de l'ensemble X. En effet x_ab en relation avec x_cd lui est associé pour donner la propriété d.

C'est une mesure relationnelle relative. Elle positionne un point de X avec chaque autre point pris pour référence relative en lui donnant une propriété. C'est une relation de transition d'états.

Texture par interférences relationnelles

Les relations forment des partitions telles que :

Ainsi les éléments de la partition P(s) pour le type de propriété s (ou paramètre) sont les sous-ensembles P(s,r) de X des éléments xi prenant la propriété r (valeur du paramètre).

La composition de deux relations (par exemple R₁ et R₃) forme des sous ensembles W((s,r),(t,u)) de X, qui possèdent les deux propriétés :

et constituent la famille des éléments de texture :

Pour comparer les éléments de texture, une distance exprime la différence entre deux éléments comme suit :

Les éléments de texture étant comparable, la séparation en sous-ensembles est créée par une frontière définie par la distance : les éléments dont la distance est inférieure ou égale à un, font partie d'un même ensemble. Les sous-ensembles créés ont des éléments possédant soit une relation commune (transitive ou non transitive) soit les deux et caractérisent par conséquent l'interférence relationnelle.

Chaque sous-ensembles correspond à une boule centrée sur un élément de texture et de rayon unitaire :

B(W((s,r),(t,u)),1)

Texture prétopologique par interférences relationnelles

Pour chaque élément de texture, définissons une famille de sous-ensembles par :

Cette famille V(W((s,r),(t,u))) valide les quatre axiomes définissant une prétopologie sur l'ensemble des éléments de texture.

V(W((s,r),(t,u))) est donc un système de prévoisinages de W((s,r),(t,u)) et donne à l'ensemble W(s,t) une structure d'espace prétopologique (W(s,t),P). Cet ensemble W(s,t) étant l'ensemble des éléments de texture par interférences relationnelles, (W(s,t),P) est un espace de texture prétopologique.

Descripteurs de texture prétopologique

Dans un espace de texture prétopologique, qui est un espace prétopologique, il est possible de définir le même type d'ensembles particuliers que pour les espaces topologiques.

Soit A un sous-ensemble de X. Le nombre d'éléments de A est son cardinal. L'ensemble X représente un ensemble W(s,t) d'éléments de texture. Donc x est un élément W((s,r),(t,u)) et y un élément W((s,v),(t,w)). Le sous-ensemble A de X représente un des sous-ensembles Ai de W(s,t). Dans les exemples, les sous-ensembles Ai sont définis par la relation transitive du fait de ses propriétés (mesure absolue, perception globale à fonction intégrante).

Un élément x de X est dit adhérent selon P à A inclus dans X, si il existe un sous ensemble W appartenant à V(x) tel que son intersection avec A soit non vide. L'ensemble des éléments adhérents à A selon P s'appelle Adhérence de A selon P, notée :

Le nombre d'éléments de Adh(A) est le cardinal d'Adhérence.

Un élément x de X est dit intérieur selon P à A inclus dans X, si il existe un sous ensemble W appartenant à V(x) qui soit inclus dans A. L'ensemble des éléments intérieurs à A selon P s'appelle Intérieur de A selon P, notée :

Le nombre d'éléments de Int(A) est le cardinal d'Intérieur.

D'autres ensembles particuliers marquent leur différence : l'extérieure Ext(A) de A est l'intérieur du complément de A par rapport à X ; la frontière F(A) de A, éléments de l'adhérence de A n'appartenant pas à son intérieur se décompose en deux semi-frontières, intérieure SFI(A) et extérieure SFE(A), suivant que les éléments respectifs appartiennent à A ou au complément de A par rapport à X. Mais trois ensembles particuliers, pour chaque sous-ensemble A, suffisent à décrire la texture de l'ensemble, les autres étant déductibles.

Nous retrouvons les mêmes définitions que les ensembles particuliers topologiques, mais avec une différence fondamentale liée à la prétopologie :

Ainsi l'idempotence n'est pas toujours vraie --> Prétopologie et Texture Prétopologique

Ces trois familles de cardinaux constituent les descripteurs élémentaires de la texture. Pour obtenir des descripteurs relatifs de la texture, il est possible d'établir des rapports pour chaque sous-ensembles particulier dont celui d'intérieur Ri(A_i) et d'adhérence Ra(A_i) en divisant respectivement les cardinaux d'intérieur et d'adhérence de chaque sous-ensemble A_i par leur cardinal respectif. La description de la texture relative a pour composantes deux rapports prétopologiques et le cardinal pour chaque sous-ensemble, les autres rapports étant déductibles.

Représentation de l'évolution de textures prétopologiques

Il est possible de construire des ECHELLES DE TEXTURES où chaque analyse de texture représente un DEGRE DE TEXTURE. Les relations binaires non transitives s'y prêtent en raison du type de propriété qu'elles confèrent à un élément en fonction d'un autre. Une relation d'ordre peut classer simplement ces degrés de texture. Mais l'échelle de texture peut être un système complexe organisé (chemin de description, discours, texture). La représentation suivant un ordre des degrés de texture est l'EVOLUTION DE TEXTURES.

Pour chaque espace de texture prétopologique, prenons le triplet des cardinaux (ensemble, intérieur, adhérence) pour tout sous-ensemble d'éléments de texture. Le cardinal du sous-ensemble caractérise son importance absolue en tant qu'objet. Le rapport de ce cardinal sur celui de l'ensemble total caractérise son importance relative en tant qu'objet dans son environnement. Le cardinal de l'intérieur du sous-ensemble caractérise son état d'isolement en tant que partie isolée de l'objet. Le rapport d'intérieur caractérise l'AGREGATION des éléments formant la partie isolée de l'objet par rapport à lui-même. Le cardinal d'adhérence caractérise son état relationnel en tant qu'objet étendu à tous les éléments de l'environnement et de lui-même qui sont en relation avec lui. Le rapport d'adhérence caractérise la DISPERSION de son environnement par rapport à lui-même.

Figure 1
Représentation à deux dimensions de l'évolution de textures

On remarque que l'espace de Topologie transitive ne représente qu'un point (RInt=1, RAdh=1) de l'espace des prétopologies non-transitives. La Topologie transitive est donc un cas limite de la prétopologie non-transitive.

Textures prétopologiques dans l'espace des nombres complexes

S'il est possible de compter le cardianl des ensembles particuliers où d'en connaître leurs rapports, il est aussi intéressant d'effectuer des calculs plus complexes pour mesurer et mesurer d'autres paramètres.

La représentation dans l'espace des nombres complexes décrit totalement la texture en montrant les relations entre les sous-ensembles particuliers prétopologiques d'intérieur (Int), de semi-frontière intérieure (Sfi) et de semi-frontière extérieure (Sfe), d'adhérence (Adh), d'extérieure (Ext), les sous-ensembles (A_i) et l'ensemble (X) englobant amis pouvant être lui-même que l'intérieur d'un sous-ensemble particulier parmi d'autres, d'un ensemble qui le contient.

La texture prétopologique est définie par 6n+1 vecteurs complexes pour n sous-ensembles de l'ensemble X tels que :

Les vecteurs T₂, T₄, T₆ ont la même propriété que T₀ d'être des vecteurs réels. Et par conséquent, il est possible de considérer les sous-ensembles particuliers prétopologiques A, Adh(A) et X, comme l'intérieur de sous-ensembles participant à une texture dans d'autres ensembles organisés.

Si la semi-frontière extérieure est plus petite que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement concave (en boule ou renflements) dans son environnement.

Si la semi-frontière extérieure est plus grande que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement convexe (en creux) dans son environnement.

Si la semi-frontière extérieure est sensiblement égale à la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement très filaire long et épais ou très carré dans son environnement.

Les mesures de l'agrégation et de la dispersion sont proportionnelles respectivement au carré des modules des vecteurs T₀ et T₃ ou T₄.

Il existe d'autres propriétés remarquables à noter :

- quand les phases P₁, P₃ et P₅ ont même valeur.

- quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure.

- quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure et la semi-frontière intérieure.

Quand les vecteurs complexes T₁, T₃ et T₅ ont une phase non nulle, il exprime un facteur de pondération sur leur module pour en diminuer leur importance (histogramme des cardinaux des sous-ensembles). Ainsi, si l'histogramme joue un rôle important dans la description topologique d'un ensemble, et de sa texture (histogramme local), on remarquera que la texture prétopologique pondère celui-ci en fonction de l'environnement des sous-ensembles et des propriétés qui les organisent en texture de l'ensemble.

Figure 2

Représentation de la texture prétopologique

dans l'ensemble des nombres complexes.

En divisant les racines carrées par la racine du cardinal des sous-ensembles, on obtient l'équivalent d' amplitudes de probabilité de distribution qui définissent des « fonctions d'onde » particulières fondant la Théorie des Texturologies Quantiques Prétopologiques.

Pour des ensembles finis plus petits, le triplet pythagoricien nous donne les positions texturologies quantiques.

Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls (x; y; z) vérifiant la relation de Pythagore : x² + y² = z².

Analyse, traitement, simulation et synthèse prétopologiques

Pour un système X composé de n sous-systèmes, le nombre total de paramètres de texture devient important. Les méthodes classiques de classification sont alors compliquées, prennent beaucoup de mémoire et de temps calcul. Le concept d'image multiparamétrique, stockée en mémoire image des ordinateurs, est introduit pour définir une représentation visuelle de la banque de données facilitant une méthode de classification multiparamétrique et multihiérarchique et une description automatique ou très interactive. La classification initiale est prétopologique, mais selon les propriétés du système ou les objectifs de l'observateur, une ou plusieurs topologies peuvent être mis en évidence (Saint-Jean 86, 87, 89).

Quand la texture systémique n'est pas homogène, l'étude de la répartition des sous-systèmes à isotexture est nécessaire. La classification multihiérarchique fournit des groupes d'isotexture. La visualisation de la répartition montre une texture des sous-systèmes à isotexture qui peut être analysée par les mêmes méthodes.

L'observation d'un système et son fonctionnement peuvent être considérés comme en psychophysiologique de la vision (Molnar 85) : le mouvement des yeux (ou des informations) est guidé par la perception de la texture (ou la texture elle-même). Il existe des états (ou zones) entre lesquels l'oeil (l'information) effectue des saccades (mouvements) avec une probabilité de transition calculable et identifiable à un processus markovien : A * Pi = Pi+1.

Le processus markovien classique, partant d'un vecteur quelconque initial (observation locale), convergent vers un vecteur d'équilibre représentant le pourcentage des classes de l'histogramme (observation globale). Les transitoires caractérisent le système dans le cas d'un processus linéaire. Mais le vecteur d'équilibre n'apporte pas plus d'information que l'histogramme. Par contre, dans des processus prétopologiques markoviens, où les sous-systèmes sont les intérieurs, les semi-frontières intérieures et extérieures, les vecteurs de transition montrent des non linéarités et le vecteur de convergence est différent de l'histogramme. L'interprétation est spécifique à chaque sous-système considéré.

Trois types de simulation sont réalisés :

- processus entre intérieurs et semi-frontières intérieurs : pour passer de l'intérieur d'un système à celui d'un autre, il est nécessaire de passer par la semi-frontière intérieure, du premier, en relation avec les semi-frontières intérieures des autres. Ainsi, chaque sous-système est considéré, non pas comme topologiquement uniforme où chaque élément a des échanges symétriques avec les autres éléments lui appartenant ou pas, mais comme une structure plus complexe où les relations ne sont pas nécessairement symétriques, les intérieurs et semi-frontières intérieures de chaque ensemble pouvant variés suivant le degré prétopologique.

- processus entre semi-frontières intérieures et extérieures : les échanges concernent les propriétés ou les actions en bordure intérieure des sous-systèmes (relation de type membranaire).

- processus entre intérieurs, semi-frontières intérieures et extérieures : les échanges s'effectuent entre l'intérieur et la semi-frontière intérieure de chaque ensemble puis par l'intermédiaire des semi-frontières intérieures en relation. L'agrégation et la dispersion interviennent simultanément.

Les processus prétopologiques markoviens sont donc importants pour la simulation de l'observation et du fonctionnement des systèmes.

Le traitement (organisation active structuro-fonctionnelle) réalisé avant l'analyse est appelé prétraitement. Mais dans les processus bouclés, le traitement peut être à la fois l'action suivant une analyse et précédant une autre analyse. La synthèse peut être le résultat d'une pure construction, mais également celui de traitements successifs et variés à partir d'un système initial (restructuration, réorganisations successives).

Plusieurs types de traitements de texture prétopologique sont réalisables :

- changement de texture locale suivant l'image multi- paramétrique des descripteurs absolus (filtrage prétopologique),

- transformation de textures prétopologiques par influence locale (érosion et la dilatation prétopologiques);

- l'équilibrage des textures par mise en jeu de règles soit antagonistes (lois du plus fort, du plus faible, des plus forts, des plus faibles) à stratégie unique (un seul contre tous) et multiple (les uns contre les autres), soit coopératrices.

Le traitement est plus rapide et plus efficace que celui effectué par les filtres numériques de type Laplacien ou convolution.

Des résultats satisfaisants ont été obtenus en biologie cellulaire, à partir de la texture prétopologique des images numérisées.

D'autres paramètres que ceux mesurant la texture prétopologique peuvent être également pris en compte dans les méthodes. Mais le modèle est suffisamment général pour être employées dans tout autre domaine de la systémique (Bode 49, Bertalanfy 73).

Moteur sémantique du PolyAgogic CyberSpace
pour l'aide à la décision et la structuration dynamique des espaces interactifs de connaissances,
par les texturologies quantiques dans les espaces de textures prétopologiques,
et le Design du concept multimédia

Partant des constatations suivantes :

- La tekhnè ou technè, du grec τέχνη, désigne le savoir-faire des métiers de l’artisanat ou de l’art, l’action efficace, chez les Grecs de l’Antiquité. Elle s’oppose chez Aristote à la praxis, qui est la sphère de l’action proprement dite. La praxis (nf, d'origine grecque), signifiant action sous-tendue par une idée vers un résultat pratique, désigne l'ensemble des activités humaines susceptibles de transformer les rapports sociaux et/ou de modifier le milieu naturel.

- On oppose traditionnellement la pratique à la théorie. Mais la pratique recèle un savoir spécifique, savoir d'action ou savoir en action qui se distingue de la théorie censée la fonder ou en rendre compte et qui tient plus du savoir sur l'action.

- Si le scientifique fait modèle de la Nature, l'artiste prend la Nature pour modèle.

- Refusant toutes ces oppositions qui n'ont plus de sens dans un espace interactif de connaissance et de création numérique, le Digital Design ou Design Numérique et Design du concept multimédia, dans ses démarches et méthodes, mettent en rétroaction systémique, l'artiste prenant modèle de la Nature, et le scientifique faisant modèle de la Nature, ainsi que la technè et la praxis, la théorie et la pratique.

- La topologie fournie des méthodes axées sur la transitivité des relations (classe d'équivalence et ordre) permettant des hiérarchisations et une optimisation réductioniste et rationaliste.

- La prétopologie « classique » fournit des méthodes axées sur la transitivité et gère mieux les frontières topologiques en caractérisant les intérieurs et les adhérences par des préfiltres permettant la non-idempotence adh(adh(A) ≠ de adh(A), et ainsi une optimisation réductioniste et rationaliste de systèmes complexes plus fine mais se cantonnant à des classes d'équivalence et d'ordre (hierarchies).

- La texture prétopologique fournit des méthodes axées sur la non transitivité (mais pas nécessairement l'intransitivité ni l'anti-transitivité) permettant la mise en réseau dynamique, en texture assurant une multihiérachie, et en texturologie permettant une optimisation relationnelle non pas réductionniste mais mettant en relation des systèmes complexes irréductibles.

- La topologie augmentée par la texture prétopologique permet le passage entre espaces topologiques en fonction de la complexité et de l'irréductibilité et le degré d'acceptation de la perte d'information. Notons que si le terme prétopologie a tout son sens comme étant pré-topologique dans le repère des espaces emboités T0 (espace prétopologique), T1, T2, T3, T4, T5 (espace métrique), il serait intéressant de voir si cette « hypertopologie » ne s'applique pas à tous les espaces T_i. Les espaces T_i n'étant pas que "emboîtés", l'ensemble des espaces constituent une texture d'espaces de topologie augmentée.
- Les textures prétopologiques permettent un assemblage d'éléments différents en relations non transitives.
- Les texturologies prétopologiques permettent l'évolution vers des états stables multihiérarchiques.
- Les texturologies quantiques prétopologiques permettent la structuration dynamiques d'une organisation complexe en considérant non pas seulement les cardinaux et les ratio prétopologiques (d'intérieur, d'adhérence etc.) mais les fonctions d'onde d'éléments répartis, tenant compte du module et de la phase des concepts dans leurs interrelations.
Ainsi l'espace-temps relativiste (-c.t.i, x, y, z) devient un espace-temps de Minkowsky de quaternion ( c.t, ( i.x, j.y, k.z )) ; 

où c.t représente une quantité, le cardinal de l'intérieur d'un sous-ensemble, et ( i.x, j.y, k.z ) les sous-ensembles de semi-membrane intérieure, semi-membrane extérieure et d'extérieure.

Ensuite la racine carrée des valeurs de cardinal et la normalisation aux sous-ensembles contenant, sont utilisées pour obtenir une amplitude de distribution (rapports quantiques relatifs) et ainsi obtenir un modèle de fonctions d'onde qui libère de la nécessité de connaitre les cardinaux, généralement mal connus au départ.

Dans le cadre de la théorie généralisée des texturologies quantiques prétopologiques, l'espace-temps relativiste est alors transformé en une texture de quanta espace-temps formant des réseaux de réseaux d'éléments informationnels.

Le quaternion de Minkowsky pourrait être également un quaternion hyperbolique, ne respectant pas l'associativité, mais formant un quasigroupe - ensemble muni d'un loi de composition interne (un magma) pour laquelle (loi comme une multiplication), il est possible de diviser, à droite comme à gauche, le quotient à droite et le quotient à gauche étant uniques -. Ce quasigroupe fini est un carré latin.
Un chaos structuré de sous-ensembles m de niveau n, contenus dans des ensembles l de niveau n+1, est alors un système de systèmes de quinternions

{(√int_m,n, i√smi_m,n, j√sme_m,n, k√ext_m,n,√int_l,n+1)_n,l,m}

le tout normalisé à chaque niveau pour faire apparaître les fonctions d'onde texturologiques.

et en donner une version HPC

Si l'on considère les niveaux d'ensemble comme des dimensions, il est alors possible de définir une dimension supérieure à toute texture de sous-ensemble.

En raison d'une part des travaux appliqués en génie biologique et médical dès les années 70, et d'autre part la notion de texturologie qui sollicite des interactions avec échanges, la notion de frontière mathématique (ouverte ou fermée en topologie) est souvent remplacée par celle de membrane (interactivités avec échanges permanents).

Au concept d'espace-temps (énergie de spin, énergie cinétique, énergie de rayonnement d'un univers à l'âge des ténèbres) s'adjoint ainsi un espace concept-relation (local-total-global où le concept est en fait le percept-concept-affect) ou ensemble-relation qu'il faut piloter paramétriquement afin de naviguer ou de survoler l'information conceptuel (zones structurées prétopologiquement) dans les espaces de connaissance interactifs, visualisables en immersion dans leur structures, leurs contenus et leurs déroulements explicatifs ou spectaculaires. Le concept de local-total-global prend donc toute sa signification. La texturologie locale des intérieurs des sous-ensembles est du type "rotation" (quaternion gauche de chaque sous-ensemble), une "énergie informationnelle de spin", plus complexe qu'en physique, donnant le sens contextuel et contexturel pragmatique. La texturologie totale est membranaire les liens assurant une "énergie cinétique" structurant ("colision" des concepts fondamentaux et pragmatique). La texturologie globale des intérieurs des ensembles distribués en sous-ensembles est du type énergie informationnelle rayonnante  (émission de concepts fondamentaux) donnant le sens textuel et texturel polysémique d'un dictionnaire. Ainsi les "textons" (lemmes du lexique, phrase dans un paragraphe, paragraphe dans une page, page web dans un site ou ensemble de sites) se regroupent en "texturons" dans l'espace concept-relation.

Ainsi, encore avec un peu d'humour : un siècle après Albert Einstein et sa Théorie de la relativité, Patrick Saint-Jean annonça sa Théorie des Texturologies Quantiques Prétopologiques, à l'ESIEA en 2004 ( http://patrick.saintjean.free.fr/PACS/Bibliographie/TQ2004/TQ.html ), lieu de naissance de ces travaux sur les topologies et prétopologies (1971), après sa conception de la Trans-combinatoire en 1967.

 
Visualisation d'une base de données multimédia en grand nombre (8192).

 
  
Autostructuration de l'espace des concepts.

Mais ici se sont les forces physiques qui engendrent la texture prétopologique des masses différentes.