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La texture prétopologique et la pensée complexe Séminaire MaMuPhi du 5 Mai 2012, de 10h30 à 13h, ENS-Ulm, Pavillon
Pasteur, 45 rue d'Ulm, Paris V.
par
Patrick SAINT-JEAN http://patricksaint-jean.fr/, http://patrick.saintjean.free.fr Maître
de
Conférence, Digital Design et Design Numérique
Nouvelles Technologies et Création, ArtsAps, Master Design CREDACI (Centre de Recherche et d'Etude en Design Arts et Création Industrielle) UCVI (Univers Cités Virtuelles Interactives) Ecole Normale Supérieure, Département Design, Sciences Humaine, Cachan, Docteur en Biologie de l'Université de Paris XIII, Ingénieur en Informatique-Electronique-Automatique de l'ESIEA Conférence répertoriée au Archive for Mathematical Sciences & Philosophy |
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Résumé Partant des structures algébriques et topologiques en Théorie des Catégories, il est intéressant d'ouvrir les structures topologiques à la prétopologie d'Alexander Grothendieck puis de Marcel Brissaud pour s'apercevoir d'une part que tout est fondé sur l'homomorphisme et la transitivité, et d'autre part qu'il existe dans des travaux parallèles de l'auteur depuis 1967 des notions de « trans-combinaison » et de « prétopologie » dès 1971. La non-transitivité et l'hétéromorphisme introduisent aux textures prétopologiques (sonores et visuelles au départ, puis généralisées) qui s'avèrent propices à la recherche d'esthétiques musicales, visuelles et conceptuelles (voir la suite de l'UPIC pour Iannis Xenakis - conçue par l'auteur de l'exposé). Une façon peut-être d'ajouter au "théorème du sandwich au jambon" d'Hugo SteinHaus repris par Stephan Banach (1938) le "théorème de la soupe de légumes" (PSJ, 2012) en sorte de ne plus avoir peur du mélange, de l'amalgame, des co-polymères et des dissonances. Introduction L'exposé est essentiellement mathématique, mais dans un cadre MaMuPhi (Mathématique, Musique et Philosophie). Nous ne manquerons donc pas de faire appel d'une part aux philosophes qui ont jalonnés ces travaux et servis d'ancrage esthético-philosophique en Mental-Design, Thinking Design et Behavioural Design lié au Digital Design et Design numérique à travers le Design du concept multimédia et polyagogique : de Parménide et Bergson dans les années 60, à Gilles Deleuze et Félix Guattari, Jacques Derrida, Gilles Chatelet et Alain Badiou très actuels, et en bouclage rétroactif avec Kurt Gödel et Douglas Hofstadter, Pierre Bourdieu, Edgard Morin, Michel de Certeau, Edouard Glissant et même Jean-Michel Lucas dans son organisation de la palabre. D'autre part, musicalement et artistiquement parlant, ces travaux sont ancrés également (ou interconnecté) avec ceux en musique formelle de Iannis Xenakis, et en « culture et subversion » de Jean Dubuffet (Topologie et Texturologies). Ces ancrages ne sont pas des enracinements mais des interconnections texturologiques qui permettent une interpellation, une interrogation et une interactivité permanentes. Des exemples de musique formelle sont donnés pour montrer la différence entre un modèle topologique et l'introduction de texture prétopologique, démonstration esthétique, réalisée sous Mathematica 8 de Wolfram qui clôturera momentanément cet exposé. Nous développerons de façon plus approfondie la dimension philosophique et musicale ultérieurement.
Recherche et Développement Démarche et méthode Partant du livre de vulgarisation scientifique de Douglas Hofstadter : "Gödel Escher Bach, les Brins d'une Guirlande Eternelle", 1979, Basic Book Edition ; traduction française, 1985, InterEdition, qui obtint le prix Pulitzer en 1980 : "Si la consistance est la condition minimale pour que les symboles acquièrent des significations passives, la notion complémentaire, la complétude, est la confirmation maximal de ses significations passives. ("capable d'être" ou "pouvant être") Alors que la consistance d'un système formel est la propriété selon laquelle "toute assertion engendrée par le système est vraie", la complétude est l'inverse : "Le système engendre toute assertion vraie"... pour le domaine qu'on tente représenter dans le système formel. La complétude se traduit ainsi : "Toute assertion vraie qui peut être exprimée au moyen des symboles du système est un théorême". ... "Si le système est non contradictoire, mais incomplet, il y a une mauvaise correspondance entre les symboles et leurs interprétations respectives ... Parfois en "élaguant" quelque peu les interprétations, on peut parvenir à la complétude du système." (réductionnisme). Mais en rajoutant une règle suplémentaire (inflationisme, expansionniste, entropique) pour assurer la complétude du système, on constate souvent qu'on ne l'obtient pas, car une brisure déductioniste de la chaîne directe ajoute des rétroactions (feedback) non convergente, qui "perturbent" et créent des systèmes bouclés parfois indécidables ou un anneau de Möbius (à la fois dessus et dessous), une bouteille de Klein (à la fois intérieur et extérieure), et un Escalier de Escher (monter plus bas qu'on est et descendre plus haut) qui sont topologiquement correctes comme surface de dimension N relatant d'un espace N+1, mais qui restent le symbole du cheminement logique qui amène à la contradiction créant le paradoxe à cause du déphasage à la jointure bouclée mais qui peut se satisfaire avec un CQFD et retour au départ. Il nous faudra donc prendre toutes les précautions. Mais sans oublier Nietzsche : « Je vous le dis, il faut avoir encore du chaos en soi pour enfanter une étoile dansante. » Ainsi : Le théorème de Gödel affirme qu'il restera toujours des énoncés indécidables (tant que la théorie reste récursivement axiomatisable). Et par conséquent : "Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de « se formaliser », on peut construire un énoncé qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie." Les nouveaux énoncés viennent régulièrement non pas remettre en question les fondements mathématiques mais à les préciser et élargir la base de plus en plus prêt de la "Nature" (dans un cosmos), dont l'Être et l'essence de sa pensée dans son expression et sa poïétique (processus de création). Et par conséquent lui donne un fondement également philosophique et artistique d'une pensée en devenir, d'une "virtualité jouissive ou jubilatoire" que Chatelet aurait rajoutée à sa virtualité physico-mathématique. Les nouveaux énoncés, qui nous intéressent, concernent la notion de Prétopologie associée à la Topologie pour en faire une Topologie augmentée. C'est aussi s'interroger en ce que l'incomplétude des uns peut être l'essentiel des autres, et faire la différence complémentaire qui elle même à ses propre incomplétudes. Et qu'une incomplétude soit objet d'une catégorie, et "prendre son sens comme symbole d'une autre théorie complémentaire" n'est pas en soi une impossibilité. Dans cette exposé la philosophie sert de starter, d'initiateur à une recherche et développement mathématique pour aboutir à une composition musicale et visuelle avec moteur sémantique dans un Design du Concept Multimédia en PolyAgogic CyberSpace pour le spectacle de la connaissance dont le Chef d'orchestre devient le K-J ou Knowledge-Jockey pour développer le KJing. Une philosophie naîtra sans doute de cette théorie mathématique. Celle qui est pour nous déjà le Résualisme de la Cybéricité, philosophie relationnelle de la différence (et pas seulement de l'identité et de la différentiation). Partant d'un structuralisme mathématique qui nous mène à la Théorie des Catégories, nous tenterons, en passant par les Structures topologiques et prétopologiques, une avancée vers une Théorie structuro-fonctionnelle-systémique par des Précatégories et préfoncteurs hétéromorphiques. Les Structures Une structure désigne toute théorie « plus forte » que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une théorie qui en contient tous les axiomes, signes et règles. C'est donc une théorie « fondée » sur la théorie des ensembles, mais contenant également des contraintes supplémentaires, qui lui sont propres, et qui permettent également de définir de nouvelles structures qu'elle inclut. Cette notion est ainsi une puissante contribution à l'hypothèse selon laquelle la théorie des ensembles fournit le fondement des mathématiques. Ce terme est à l'origine de ce que l'on a appelé le structuralisme mathématique. Un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure. Cette notion de morphismes est fondamentale en mathématique. Elle permet de comparer et de relier les objets mathématiques entre eux. Un morphisme de structure transporte la loi de structure, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des structures par les morphismes. La notion de morphisme est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne un sens bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une application, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles : la flèche peut relier deux structures d'une même espèce, par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels. Les morphismes ont des applications particulièrement importantes en physique moderne, en particulier la mécanique quantique. Nous verrons alors comment à partir d'un structuralisme hétéromorphique nous cherchons une texture prétopologique et une texturologie quantique prétopologique relationnelle d'une autre nature mais qui se retrouve dans une Topologie augmentée utilisant des andromorphismes (hétéro et homo morphisme). Les structures avant BourbakiEn histoire des mathématiques, quelque moderne et innovatrice que soit une notion nouvelle, il arrive fréquemment que l'on en observe rétrospectivement des traces jusque dans l'Antiquité. Ainsi, le calcul différentiel et intégral, inventé au XVIIe siècle par Leibniz et Newton, était déjà utilisé de manière embryonnaire et naïve chez Eudoxe et Archimède. Il en va de même avec l'invention de la notion de structure mathématique : son utilisation a précédé sa première formulation explicite. Il est par conséquent aussi aisé de repérer dans l'histoire des mathématiques les premiers auteurs définissant et commentant la notion de structure, que difficile de retrouver les premiers à l'avoir utilisée sans l'expliciter. En arithmétique modulaire, l'idée de structure apparaît vraiment avec l'approche de Carl Friedrich Gauss dans les Disquisitiones arithmeticæ (1801). Il étudie les restes de la division euclidienne sous un angle structurel ; c'est ainsi l'une des origines de la théorie des groupes. En théorie de Galois, l'approche est essentiellement structurelle pour Évariste Galois à travers les symétries, chez Camille Jordan à travers la théorie des groupes, chez Leopold Kronecker à travers la théorie des corps. En algèbre linéaire, l'idée de structure apparaît deux fois : en géométrie euclidienne, une approche axiomatique se fait finalement ressentir pour devenir obligatoire (cf. axiomes de Hilbert) ; puis avec les tentatives de formalisation des espaces vectoriels par Grassmann ou Peano, et enfin chez Banach et Bourbaki. Les structures chez BourbakiC'est le groupe de mathématiciens publiant sous le pseudonyme de Nicolas Bourbaki qui a développé pour la première fois la théorie des structures de manière explicite et rigoureuse dans ses Éléments de mathématique à partir des années 1930. La notion de structure dérive de la méthode axiomatique adoptée par Bourbaki. Cette axiomatique permet de mettre au jour une unité profonde entre diverses branches des mathématiques, considérées comme distinctes dans la classification traditionnelle des disciplines mathématiques (arithmétique, algèbre, analyse, géométrie) Voici comment Bourbaki décrit la méthode de mise au jour des structures dans l'article L'Architecture des mathématiques : « Sous quelle forme va se faire cette opération ? C'est ici que l'axiomatique va se rapprocher le plus de la méthode expérimentale. Puisant comme elle à la source cartésienne, elle “divisera les difficultés pour les mieux résoudre” : dans les démonstrations d'une théorie, elle cherchera à dissocier les ressorts principaux des raisonnements qui y figurent ; puis, prenant chacun d'entre eux isolément, et le posant en principe abstrait, elle déroulera les conséquences qui lui sont propres ; enfin, revenant à la théorie étudiée, elle en combinera de nouveau les éléments constitutifs précédemment dégagés, et étudiera comment ils réagissent les uns sur les autres3. » En note, Bourbaki observe : « Dans cette nouvelle conception, les structures mathématiques deviennent, à proprement parler, les seuls “objets” de la mathématique5. » Bourbaki distingue ainsi principalement trois types de structures, les «structures-mères» : la structure algébrique, dont les relations sont des lois de composition, la structure d'ordre, et la structure topologique. - En algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d'être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes. Etant donné un ensemble E une loi de composition, sur E, ou loi tout court, est une application, soit de E × E dans E, on dit alors que la loi est interne, soit de K× E dans E (ou E× K dans E), où K est un autre ensemble et la loi est dite alors externe.
Des structures pour demain Partant des travaux de Seymour Lipschutz (General Toplogy, MacGraw-Hill, 1965, p 141) où nous découvrions en 1971, avec ceux également de Nicolas Bourbaki (Eléments de Mathématique, livre III, Topologie Générale, Hermann, 1964), que la Topologie n'était pas seulement celle de R3 de Laurent Swartz à Polytechnique, mais était déjà d'une grande complétude en montrant une structure d'empilage d'espaces topologiques (T0-T5) de propriétés différentes mais créant une pyramide stratifiée ou une structure de poupées russes emboitées (ou un gâteau à empilage pâtissier) avec possibilité de passage de l'un à l'autre par les "foncteurs ajout" et "foncteur oubli". Et pourtant à cette époque il existait déjà des mathématiciens et mathématiciennes qui cherchaient d'autres structures pour expliquer leur vision abstraite du réel, et émettre des hypothèses solides sur l'existence de quasi, pseudo et pré-topologies (Choquet, Erhesrman Charles et Andrée, Fréchet, Brissaud). Comme-ci cette pyramide d'espaces horizontaux avait aussi des structures externes possibles aux topologies de l'époque. Après une recherche approfondie dans la littérature et sur le Web (Wikipedia, et autres), nous essayons de visualiser, dans le schéma suivant, la structure des structures topologiques dans le cadre de la Théorie des Catégories, pour faire apparaitre de nouvelles structures comme les prétopologies, "avant" la prétopologie aux sens d'espace avec moins de contraintes, moins de propriétés (foncteur oubli) et ainsi repousser l'ultrafiltre usuel (espaces topologiques), et "prendre de la distance" par rapport à l'ultrafiltre inverse qui nous conduit aux espaces topologiques dit Métriques (T5) mais en fait métrisables qui aboutissent avec les mesures très fines ou très grandes à des espaces quantiques et théorie des cordes assumant les incertitudes d'Heisenberg. Nous remarquerons que l'ultrafiltre est repoussé jusqu'à l'espace des texturologies quantiques prétopologiques montrant un besoin de construire un modèle dont le quantique n'est pas spacio-temporel mais relationnel. Non seulement content de combler des incomplétudes, il fallait justifier non pas seulement leur existence, mais la cohérence et la consistance avec la structure. Pour cela, nous montrons, en pointillés sur le schéma et une liste de remarques et interrogations à la suite, qu'il existe des structures non emboîtées dans certains espaces, comme-ci cette structure, cette pyramide avait des chambres et chemins d'accès secrets : non connexes, non topologiques. Suite à cet exposé, nous compléterons ce schéma avec l'aide d'Andréa Erhesmann pour les quasi et pseudo topologies bien établies. Par exemple à partir des Cahier de topologie et géométrie différentielle catégoriques. Les Structures Topologiques classiques et augmentées par la Théorie des Catégories et des Précatégories Rappel sur la Théorie des Catégories La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et les relations qu'elles entretiennent. Elle peut donc être considérée comme fondement des mathématiques.
Un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure. Cette notion de morphismes est fondamentale en mathématique. Elle permet de comparer et de relier les objets mathématiques entre eux et il apparaît qu'en étudiant ces morphismes, l'on est capable d'en apprendre plus sur la structure des objets. L'étude des homomorphismes de groupe fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes, et peut être généralisée à l'analyse de toute structure. Une catégorie est elle-même un type de structure mathématique, pour laquelle il existe des processus préservant sa structure, appelés foncteurs. Un foncteur associe : - à chaque objet d'une catégorie, un objet d'une autre catégorie, - et à chaque morphisme d'une catégorie, un morphisme dans l'autre catégorie. On définit ainsi une catégorie des "catégories et foncteurs" : les objets sont des catégories, et les morphismes sont des foncteurs (homomorphisme). Le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme. Un foncteur (ou foncteur covariant) d'une catégorie dans une catégorie est la donnée
qui
Un foncteur contravariant G d'une catégorie dans une catégorie est un foncteur covariant de la catégorie opposée dans (à tout morphisme de il associe donc un morphisme de , et on a la « relation de compatibilité » ). On voit immédiatement que l'image d'un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme. Foncteurs adjointSoient et deux catégories, un foncteur de dans et de dans tels que pour tout objet et on ait une bijection naturelle en X et Y : Alors et sont des foncteurs adjoints, est adjoint à gauche de et est adjoint à droite de . Le foncteur identité d'une catégorie , souvent noté , qui laisse les objets et les morphismes de la catégorie invariants. Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets : - le foncteur de Ab dans Grp qui, à un groupe abélien, associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ; - le foncteur de Grp dans Set qui, à un groupe, associe l'ensemble sous jasent (on a « oublié » la structure de groupe). Le foncteur de faisceaux, d'une catégorie dans la catégorie de ses faisceaux, qui associe à chaque objet le faisceau et son dual (contravariant) qui lui associe . Dans ce cas est le faisceau terminal (ou constant ou point) et l'initial (ou vide). Le foncteur de faisceau est une représentation d'une catégorie dans son topos et permet d'identifier chaque objet au faisceau qu'il représente. Une catégorie possédant un seul objet, et dont la classe des morphismes est un ensemble, n'est rien d'autre qu'un monoïde, et entre deux telles catégories, les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes. On dit qu'un foncteur est fidèle si pour tout couple d'objets dans , deux morphismes sont égaux si et seulement si les morphismes sont égaux. On dit que F est plein si tout morphisme est égal à un . Un foncteur pleinement fidèle est un foncteur à la fois fidèle et plein. Par exemple, le foncteur d'oubli de Ab dans Grp est pleinement fidèle; le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle mais pas plein. Si est l'inclusion d'une sous-catégorie dans une catégorie , alors il est fidèle, sans être toujours pleinement fidèle. Un foncteur est appelé une équivalence de catégories (en) s'il existe un foncteur tel qu'il existe un isomorphisme naturel de foncteurs entre (resp. ) et l'identité sur (resp. ). Une équivalence de catégories est une notion plus générale que celle des isomorphismes de catégories. Le foncteur constant (tous les objets ont le même objet image et chaque flèche est envoyée sur l'identité) est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs. Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie des petites catégories, et sont tous des homomorphismes. Ainsi il est possible de passer d'une catégorie à l'autre. Ici plus particulièrement en gardant les mêmes structures ou en changeant de structure en oubliant ou rajoutant des propriétés. Par abstraction, les constructions sont souvent « reliées naturellement ». C'est pourquoi l'on définit le concept de transformation naturelle, qui est une manière d'envoyer un foncteur sur un foncteur. Si le foncteur est un morphisme de morphismes, la transformation naturelle est un morphisme de morphismes de morphismes. On peut ainsi étudier de nombreuses constructions mathématiques. La « naturalité », comme le principe de relativité en physique, est un principe plus profond qu'il n'en a l'air au premier regard. Saunders MacLane, co-inventeur de la théorie des catégories, a ainsi déclaré : « je n'ai pas inventé les catégories pour étudier les foncteurs ; je les ai inventées pour étudier les transformations naturelles ». Par exemple, il existe un isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension finie et son espace dual, mais cet isomorphisme n'est pas « naturel », dans le sens où sa définition requiert d'avoir choisi une base, dont elle dépend étroitement. En revanche, il existe un isomorphisme naturel entre un espace vectoriel de dimension finie et son espace bidual (le dual de son dual), c'est-à-dire en l'occurrence indépendant de la base choisie. Cet exemple est, historiquement, le premier formulé dans l'article fondateur de Samuel Eilenberg et Saunders MacLane en 1945. Autre exemple : il existe plusieurs manières de relier les espaces topologiques à la théorie des groupes : homologie, cohomologie, homotopie... L'étude des transformations naturelles permet d'examiner comment ces connexions sont elles-mêmes reliées l'une à l'autre. Lorsqu'une catégorie est courante, certains lui donnent comme nom l'abréviation du nom de ses objets, entre parenthèses, pour signaler qu'il s'agit de leur catégorie : La catégorie Ensemble C(Ens), la catégorie Topologie C(Top), la catégorie Groupe C(Grp) Soit un ensemble, on appelle filtre sur toute partie ℱ de (ensemble des parties de ) telle que :
Soit E un ensemble non vide et x un élément de E. L'ensemble est un filtre, qu'on dit être un filtre principal.
Dans le cas particulier où la topologie de E est discrète, on retombe sur un filtre principal puisque pour la topologie discrète, une partie de E est un voisinage de x si et seulement si elle contient x.
L'ultrafiltre On obtient l'ultrafiltre sur un ensemble X qui est une collection de sous-ensembles de X qui est un filtre, et qui n'est pas contenue dans un filtre plus grand. Le degré de complétude d'un ultrafiltre U est le plus petit cardinal κ tel qu'il existe une famille de κ éléments de U dont l'intersection n'est pas dans U. Cette définition implique que le degré de complétude de tout ultrafiltre est au moins . Un ultrafiltre dont le degré de complétude est supérieur à — autrement dit, tel que l'intersection de toute famille dénombrable d'éléments de U est encore dans U — est dit dénombrablement complet ou encore -complet. Le degré de complétude d'un ultrafiltre (non trivial) -complet est toujours un cardinal mesurable. L'ordre de Rudin–Keisler est un préordre sur la classe des ultrafiltres défini de la manière suivante : si U est un ultrafiltre sur X, et V un ultrafiltre sur Y, alors V ≤ U si et seulement s'il existe une fonction f: X → Y telle que pour tout sous-ensemble C de Y. De même, il est possible de définir un filtre inverse en rajoutant des propriétés jusqu'à obtenir l'ultrafiltre inverse qui est le filtre qui contient le plus petit. Ainsi
il est possible de passer de l'ultrafiltre des Catégories
T-4 à l'ultrafiltre inverse des Catégories T6, les filtres
d'espaces topologiques jouant un rôle d'inclusion de propriétés
supplémentaires. Et inversement d'aller de T6 vers T-4 par le
foncteur oubli. Le foncteur de passage entre la catégorie T-2 à T-3 est
le foncteur "oubli de la transitivité", et le
foncteur de passage entre la catégorie T-3 à T-4 est le foncteur "oubli
du cardinal" donnant des absolus pour entrer dans des espaces à
rapports de cartinaux (proportions, ratios) engendrant les fonctions
d'onde de textures relationnelles à toutes les échelles. Nous constatons qu'à un niveau de filtre, des espaces peuvent cohabiter dans un espace de filtre plus grand, créant ainsi une texture prépologique dans la structure des Catégories (fondée sur les homomorphisme) et définissant ainsi des PréCatégories (fondée sur les andromorphismes). Par conséquent, le foncteur de passage entre la catégorie T-2 à T-3 est aussi le foncteur "oubli de l'homomorphie". Une question mathématique mais aussi philosophique se pose en repoussant l'ultrafiltre dans la structure des Catégories. En 1971, Patrick Saint-Jean l'avait déjà fait en incluant la Catégorie des objets perçus topologiquement dans celle des objets perçus mathématiquement, inclus dans ceux des objets perçus non mathématiquement, laissant ainsi une possibilité de connexions avec les objets perçus avec d'autres méthodes et démarches trouvées dans d'autres littératures (métaphysiques, religions, arts). Du foncteur au chemin Dans une catégorie, la somme peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Lorsqu'elle existe, la somme des Xi , i ∈ I représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien ∏i Hom(Xi,Y), i ∈ I Dans la catégorie des espaces topologiques, la somme topologique (en) existe et commute avec le foncteur d'oubli. On peut raffiner la notion de somme avec la somme amalgamée. Plus généralement, la somme amalgamée dans une catégorie quelconque est la colimite d'un tel diagramme, lorsqu'elle existe, ce qui est le cas dans les catégories abéliennes. La somme amalgamée étant un quotient de l'union disjointe, les injections canoniques induisent des applications qui permettent de compléter le carré commutatif. Le produit fibré est la limite (au sens des catégories) du diagramme formé à l'aide des deux applications initiales f et p. Il est aussi possible de le voir comme le produit (au sens des catégories) dans une catégorie des morphismes vers B. Dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, lorsque l'on choisit deux objets. On
peut suivre un chemin quelconque à travers le diagramme et obtenir
le même résultat par composition des morphismes. Remarque
: Une catégorie , dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :
On demande aussi que : si . Dans la théorie des catégories, un préfaisceau sur un espace topologique X est un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X dans une autre catégorie. On peut donc avoir des préfaisceaux d'ensembles, de groupes, d'anneaux ou de tout autre type de structures mathématiques. Dans n'importe quelle catégorie, soit X une variété (ou objet) de cette catégorie, alors Hom (*, X) est un faisceau sur la catégorie, c'est même l'exemple canonique car on plonge toujours une catégorie dans son topos et tout faisceau F est représenté dans le topos (ou catégorie des faisceaux) par Hom (*, F). On remarquera que si la catégorie admet un objet terminal, pt (pt pour point), alors Hom (*, pt) est l'objet terminal du topos (donc noté pt) et que si la catégorie admet un objet initial, (cette notation n'est pas anodine), alors Hom (*, ) est l'objet initial du topos (donc noté ). La notion de faisceau est une généralisation des sections d'un fibré vectoriel. Une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (i.e. la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteur. Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d'un morphisme de D : , telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif : If F and G are functors between the categories C and D, then a natural transformation η from F to G associates to every object X in C a morphism ηX : F(X) → G(X) between objects of D, called the component of η at X, such that for every morphism f : X → Y in C we have: On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus. Si pour tout objet X de C, est un isomorphisme, on dit que est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. Dans la théorie des schémas, on adopte une définition plus abstraite : les ouverts d'une topologie de Grothendieck (en) (par exemple la topologie étale (en)) sont définis comme des morphismes de certaines catégories. Rappel sur les structures topologiques - T-4 – Espaces de Texturologie Quantique Prétopologique de Patrick Saint-Jean - T-3 – Espaces de Texture Prétopologique de Patrick Saint-Jean - T-2 – Espaces Prétopologiques selon Marcel Brissaud, Z. Belmandt et Pretopologics - T-1 – Espaces Prétopologiques de Alexandre Grothendieck - T Espace Topologique dont : - T0 ou de Kolmogorov : dans lequel pour tout couple de points distincts, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre. - T1 ou accessible ou de Fréchet : dont tous les singletons sont fermés. - T2 espace de Hausdorff ou séparé : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinages disjoints. - T2½ ou complètement de Hausdorff : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinages fermés disjoints. - T3 espace régulier T1 mais il existe des espaces réguliers non T1, espace de fermés séparés d'un point extérieur par des ouverts - T3,5 ou espace de Tychonoff - T4 espace normal T1 - T5 espace métrique normal et espace T1 - T6 espace quantique lié aux incertitudes de Eisenberg, espace T5 très petit (nano) ou très grand (comos). Mais : - Un espace de Tychonoff (Andreï Nikolaïevitch Tikhonov ou Tychonoff selon une transcription désuète) est un espace T1 complètement régulier. C'est un espace T3. - Un espace T4 est un espace de Tikhonov mais pas seulement. - Un espace T1 fini est un espace discret. - Un espace T0,T1, T2, T3, T4, T5 sont héréditaires (les sous-espaces ont mêmes propriétés). - Un espace de Banach est un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K=ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. - Un espace de Fréchet est une structure mathématique d'espace vectoriel topologique satisfaisant certains théorèmes relatifs aux espaces de Banach même en l'absence d'une norme. - Tout espace de Banach est un espace de Fréchet mais la réciproque n'est pas toujours vraie. - Un sous-ensemble d'un espace topologique est compact si il existe un revêtement ouvert fini. - Un espace séparé est compact, ou vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, si chaque fois qu'il est recouvert par des ouverts, il est recouvert par un nombre fini d'entre eux. - Un espace topologique X est dit quasi-compact s'il vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de X, on peut extraire un sous-recouvrement fini. L'espace est dit compact quand il est en outre séparé au sens de Hausdorff (T2). - Un espace topologique séparé est compact si et seulement si pour tout filtre F sur X, il existe un filtre plus fin que F qui converge, ou encore si et seulement si tout ultrafiltre sur X converge. - Tout produit de compacts est compact. - Le théorème de Tykhonov est un théorème de topologie qui affirme qu'un produit d'espaces topologiques compacts est compact au sens de la topologie produit. - Il existe une équivalence du théorème de Tykhonov avec l'axiome du choix. Il est important de noter que cette équivalence n'a lieu que s'il on considère la définition anglophone de la compacité, qui correspond à la quasi-compacité francophone (l'espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue mais n'est pas séparé a priori). Dans le cas de la compacité francophone (on impose de plus que l'espace soit séparé), le théorème de Tykhonov est équivalent à une version strictement plus faible de l'axiome du choix : le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole. - Un espace topologique X est dit noethérien si toute suite décroissante de fermés de X est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang, et si et seulement si tout ouvert de X est quasi-compact. - La compacité est une propriété topologique importante qui se définit en topologie générale, à partir de la notion de recouvrement ouvert. Toutefois dans le cadre des espaces métriques (comprenant notamment les espaces vectoriels normés), il est possible d'en donner une caractérisation en termes de suites. La notion de compacité ainsi présentée est appelée compacité séquentielle. - Dans espace T4, il existe des espaces d'Hausdorff compactes qui peuvent être également des espaces métriques. - Un espace métrique est dit propre si toutes ses boules fermées sont compactes. - Un espace vectoriel normé est propre si et seulement s'il est de dimension finie : c'est le théorème de compacité de Riesz. - Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet. - Un espace de Hilbert (ou espace hilbertien) est un espace préhilbertien complet. C’est donc un espace de Banach particulier. Les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens sont des exemples d'espaces de Hilbert. - Une partie K d'un espace topologique X est dite relativement compacte si son adhérence est une partie compacte de X. - Un espace noethérien est un espace topologique qui vérifie la condition de chaîne descendante sur les fermés ou, ce qui revient au même, la condition de chaîne ascendante sur les ouverts. Un espace X est noethérien si et seulement si tout ouvert de X est quasi-compact. Si X est un espace noethérien séparé, alors toute partie de X est compacte, donc fermée. Il suit que X est discret, donc fini. - Une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension algébrique normale séparable. L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelé groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension ainsi que ces sous-corps. Une extension de Galois est une construction algébrique utilisant trois structures, celle des groupes, celle des corps commutatifs et celle des espaces vectoriels. La structure de groupe permet par exemple l'analyse des permutations des racines d'un polynôme. Dans le cas de l'équation quintique ou équation du cinquième degré, il existe 120 permutations possibles. L'analyse systématique des groupes finis non plus sous un axe combinatoire, mais avec une approche abstraite permet, en échange d'une montée en abstraction, une résolution calculatoirement relativement simple par exemple pour le cas de l'équation quintique. En algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante. K est un corps, L une extension algébrique de K, et Ω la clôture algébrique de K. L est identifié à un sous-corps de Ω. L'extension est dite normale si tout morphisme de L dans Ω laissant K invariant est un automorphisme de L. L'extension est dite de Galois ou galoisienne si elle est normale et séparable. L'extension L de K est dite séparable si le polynôme minimal sur K de tout élément de L n'a aucune racine multiple dans Ω. L'ensemble des automorphismes de L qui laissent K invariant, muni de la loi de composition des applications, forme un groupe appelé le groupe de Galois de l'extension et est souvent noté Gal(L/K). L'extension engendrée par la racine cubique de deux et i, l'unité imaginaire, est une extension de Galois. Cette extension est de dimension six et son groupe de Galois est isomorphe au groupe des permutations de trois éléments. Une extension normale L de K est un cas particulier d'extension de corps. Une extension algébrique est dite normale ou quasi-galoisienne si et seulement si tout morphisme de corps de L dans un corps le contenant et induisant l'identité sur K, a son image contenue dans L. Intuitivement, cela veut dire que tout conjugué d'un élément de L appartient encore à L. - On prouve que la clôture algébrique du corps des nombres réels est le corps des nombres complexes au moyen du théorème de d'Alembert-Gauss - The relation `is a Galois extension of' is not transitive.'' This means that, if K/F and L/K are Galois extensions, it does not follow that L/F is Galois. This follows immediately from the fact that normal is not transitive. - Let E/K be a Galois extension of fields, let F/K be an arbitrary extension and assume that E and F are both subfields of some other larger field T . The compositum of E and F is here denoted by EF . Then: EF is a Galois extension of F and E is Galois over EF ; Let H=Gal(EF/F) . The restriction map: H=Gal(EF/F)−Gal(E/EF) is an isomorphism, where Gal(E/EF) denotes the restriction of Gal(EF/F) to E . However, that if E/F and F/K are both Galois extensions, the extension E/K need not be Galois. - La théorie des sous-ensembles flous est une théorie mathématique du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets et sert de fondement à la logique floue : définir une partie A floue de E en attribuant aux éléments x de E un degré d'appartenance, d'autant plus élevé qu'on souhaite exprimer avec certitude le fait que x est élément de A. Cette valeur vaudra 0 si on souhaite exprimer que x de façon certaine n'est pas élément de A, elle vaudra 1 si on souhaite exprimer que x appartient à A de façon certaine, et elle prendra une valeur comprise entre 0 et 1 suivant qu'on estime plus ou moins certain l'appartenance de x à A. On est donc amené à définir une partie floue. - En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue entre deux espaces topologiques dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes. La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques. - La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). - Le théorème de Jordan est un théorème de topologie plane et l'un des piliers de la topologie du plan, qui correspond à l'étude des transformations, sans arrachage ni recollement (le plan est considéré comme formé d'une baudruche infiniment souple mais indéchirable). L'approche intuitive est trompeuse, on imagine généralement des lacets simples un peu rudimentaires enroulé, relativement proche d'un cercle. Cependant, une courbe de Jordan peut être beaucoup plus complexe. Savoir si le point rouge est ou non à l'intérieur du lacet n'est pas aussi facile qu'on aurait pu le penser de prime abord. Réunion disjointe par la relation d'équivalence Mais : Soient X et Y deux espaces topologiques, A une partie non vide de Y et f : A->X une application continue. Le recollement de Y à X au moyen de f est le quotient de la réunion disjointe X Ц Y par la relation d'équivalence qui identifie chaque élément de A à son image par f. C'est un cas particulier de somme amalgamée. Lorsque X est réduit à un point, l'espace obtenu est simplement Y/A. Lorsque c'est A qui est réduit à un point a, le recollement est le bouquet des deux espaces pointés (Y,a) et (X,f(a)). - La collection d'espaces topologiques {(Xi,Ti)} et le produit forme la topologie produit de Tychonoff T pour toutes les projections πi : X->Xi de l'ensemble produit X, et (X,T) est l'espace topologique produit. - Et toute fonction f de Y dans soit f : Y --> F, fait correspondre à chaque projection πi : X --> Xi une composition πi o f de Y dans Xi. Ainsi
à chaque
(Xi,Ti) correspond une relation binaire (voir
ternaire) "Ri" qui, selon ses propriétés,
définit son espace topologique Ti.
Et pourtant la structure topologique n'est pas transitive car les espaces topologiques ne sont pas tous emboités (inclus les uns dans les autres (comme T0 à T5). Ainsi, il est nécessaire de parcourir un chemin dans la structure non connexe des espaces topologiques qui mène à des incomplétudes relatives. - La somme amalgamée est une opération entre deux ensembles constituant les espaces d'arrivée de deux applications définies sur un même troisième ensemble de même nature. Le résultat satisfait une propriété universelle de factorisation de diagrammes, duale de celle du produit fibré et qui peut être valable dans d'autres catégories comme celle des groupes. - Le produit fibré est une opération entre deux ensembles munis tous deux d'une application vers un même troisième ensemble. Sa définition s'étend à certaines catégories en satisfaisant une propriété universelle de factorisation de diagrammes, en dualité avec la somme amalgamée. Le produit fibré est utilisé notamment en géométrie algébrique pour définir le produit de deux schémas, ou en topologie algébrique pour construire, à partir d'un espace fibré (tel un revêtement), un autre espace de même fibre, le fibré induit, en remontant le long d'une application entre les deux bases, d'où l'appellation en anglais pullback (« tiré en arrière ») parfois utilisée en français. La somme amalgamée étant un quotient de l'union disjointe, les injections canoniques induisent des applications qui permettent de compléter le carré commutatif. Pullback (produit fibré, somme topologique), dual du Pushout (somme amalgamée, quotient de l'union disjointe) La réunion disjointe est une opération sur les ensembles. Définition ensembliste : la somme amalgamée de X et Y le long de Z est
définie
comme le quotient de l'union disjointe de X et Y par la relation : Dans des catégories
ensemblistes, telles
celles des espaces topologiques ou des espaces vectoriels, la somme
amalgamée constitue elle-même un objet de la catégorie. alors il existe une unique
application u
de la somme amalgamée vers l'ensemble Q qui factorise le diagramme : Autrement dit, la somme
amalgamée est la
colimite du diagramme formé à l'aide des deux applications initiales f
et g. Il est aussi possible de la voir comme la somme (au sens des
catégories) dans une catégorie des morphismes partant de Z. En général, lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est-à-dire que l'on réunit les deux ensembles comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux. Dans la catégorie des espaces topologiques, la somme topologique existe et commute avec le foncteur d'oubli. On utilise beaucoup la réunion disjointe en topologie. Alliée avec l'espace quotient, la réunion disjointe permet de construire de nombreux espaces, notamment les variétés topologiques, les complexes cellulaires ou simpliciaux. - Une variété est un espace topologique abstrait, qui peut être "localement" vu comme (approximativement) euclidien de dimension n, n étant la dimension de la variété. La première notion attachée à une variété est sa dimension. Elle désigne le nombre de paramètres indépendants qu'il faut se fixer pour positionner localement un point sur la variété. Un CW-complexe (appelé souvent aussi complexe cellulaire) est un type d'espace topologique, créé par J. H. C. Whitehead pour gérer des problèmes de théorie de l'homotopie. L'idée était de créer une classe d'objets plus grande que celle des complexes simpliciaux, autrement dit, avec de meilleures propriétés du point de vue de la théorie des catégories. De plus, l'intention était que ces objets retiennent leurs propriétés combinatoires de telle sorte que les considérations calculatoires ne soient pas ignorées. Le nom CW provient du qualificatif de l'espace topologique, en anglais : closure-finite weak topology, pour topologie « à fermeture finie » et « faible ». Un complexe simplicial est un objet géométrique déterminé par une donnée combinatoire et permettant de décrire certains espaces topologiques en généralisant la notion de triangulation d'une surface. Un tel objet se présente comme un graphe avec des sommets reliés par des arêtes, sur lesquelles peuvent se rattacher des faces triangulaires, elles-mêmes bordant éventuellement des faces de dimension supérieure… Cette structure est particulièrement utile en topologie algébrique, car elle facilite le calcul des groupes d'homologie de certains espaces comme les polyèdres et certaines variétés topologiques qui admettent une décomposition en complexe simplicial. La structure de complexe simplicial est enrichie dans celle d'ensemble simplicial, puis généralisée par celle de CW-complexe en autorisant des rattachements de faces non combinatoires. Le polyèdre associé à un complexe simplicial géométrique K est simplement la réunion de tous les simplexes qu'il contient. La donnée d'un complexe simplicial et d'un homéomorphisme entre son polyèdre et un espace topologique X constitue une triangulation de X. Ainsi un cube ne se présente pas naturellement comme un complexe simplicial, notamment parce que ses faces ne sont pas triangulaires, mais il admet plusieurs triangulations possibles parce que chaque face peut être divisée en deux triangles. L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de déformation continue d'un objet à un autre. Deux lacets sont dits homotopes lorsqu'il est possible de passer continument de l'un à l'autre. Ce concept se généralise à bien d'autres objets que des lacets. L'homotopie est source de nombreuses démonstrations. Un exemple célèbre est celui du théorème de d'Alembert-Gauss qui indique que tout polynôme à coefficients complexes et non constant admet au moins une racine dans C. La notion d'homotopie entre deux fonctions permet de définir une relation d'équivalence entre espaces topologiques. Un topos (au pluriel, topoï) est une catégorie qui se comporte comme un préfaisceau d'ensembles sur un espace topologique. Par exemple : - La catégorie des graphes et morphismes de graphes, - Le topos des ensembles: la catégorie des ensembles et fonctions totales. Le principal atout de cette notion réside dans l'abondance de situations en mathématiques où l'on a une indéniable intuition topologique, mais où fait défaut tout espace topologique digne de ce nom. Le plus grand succès de cette idée programmatique est à ce jour l'introduction du topos étale d'un schéma. Nous verrons qu'en passant de la topologie
à la prétopologie et à la texture prétopologique que les sommes
amalgamées et les sommes prétopologiques (produits fibrés
prétopologiques) prennent toute leur importance pour déduire les
hétéromorphismes des homomorphismes et former les andromorphismes.
Les espaces topologiques Deux définitions équivalentes sont souvent données : la définition par les ouverts, et la définition par les voisinages d'un point. La première est plus ramassée, la seconde souvent plus intuitive. Le passage d'une définition à l'autre est direct. Définition par les ouvertsUn espace topologique est un couple , où est un ensemble et un ensemble de parties de que l'on définit comme les ouverts de , vérifiant les propriétés suivantes :
L'ensemble , qui est un ensemble de parties de , est alors appelé une topologie sur . Il est d'usage de rappeler la présence de la partie vide à la propriété 1 ; c'est toutefois en toute rigueur superflu, puisqu'on peut l'obtenir en appliquant la propriété 2 à la réunion indexée par l'ensemble vide. Un fermé d'une topologie est défini comme le complémentaire d'un ouvert. L'adhérence d'une partie de est le plus petit fermé qui contient . Pour un point de , on appelle alors voisinage de pour cette topologie n'importe quelle partie de qui inclut un ouvert qui contient . Définition par les fermésIl résulte de la théorie élémentaire des ensembles qu'une topologie sur peut aussi être définie par l'ensemble de ses fermés, cet ensemble de parties de devant vérifier :
Définition par les adhérencesDans un espace topologique, les adhérences vérifient les propriétés : L'adhérence de l'adhérence est l'adhérence (idempotence) --> TOPOLOGIE Inversement, étant donné un ensemble , toute application qui vérifie ces quatre propriétés (appelées axiomes de fermeture de Kuratowski (en)) permet de définir sur E une topologie, en décrétant que les fermés de cette topologie sont les tels que (et que les ouverts sont les complémentaires des fermés). Définition par les voisinagesUn espace topologique est un couple , où est un ensemble et une application de vers l'ensemble obéissant aux cinq conditions ci-après1, dans lesquelles les éléments de , pour , sont appelés voisinages de .
Les ouverts de la topologie sont alors les sous-ensembles de voisinages de chacun de leurs points. À l'inverse, les voisinages d'un point de sont les sous-ensembles de incluant un ouvert qui contient ce point. La plupart des notions de topologie, comme la continuité ou la limite, peuvent se définir de manière équivalente et aussi élégante par les ouverts, par les fermés ou par les voisinages. Sur les voisinages il existe une topologie associée à tout espace métrique. Un ouvert est alors un ensemble qui contient, pour chaque point de , une boule ouverte de centre . Cela revient au même de dire qu'un ouvert est une réunion de boules ouvertes. Ainsi la topologie sur ℝ est naturellement issue de la distance issue de la valeur absolue. Un ouvert est alors une union d'intervalles ouverts. Plus généralement, les espaces vectoriels normés sont des espaces métriques donc topologiques. La topologie discrète sur un ensemble est celle pour laquelle l'ensemble des parties de . Donc toutes les parties sont ouvertes, tous les points sont isolés. En contrepartie de la simplicité, elle n'offre pas beaucoup d'intérêt. La topologie grossière sur est celle pour laquelle les seuls ouverts sont la partie vide et lui-même. La topologie produit est une topologie définie sur un produit cartésien d'espaces topologiques. Si A est un anneau commutatif unitaire, son spectre premier, constitué de ses idéaux premiers, est lui aussi muni d'une topologie de Zariski, qui n'est presque jamais séparée. Dans la théorie des schémas, on adopte une définition plus abstraite : les ouverts d'une topologie de Grothendieck (en) (par exemple la topologie étale (en)) sont définis comme des morphismes de certaines catégories. Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques (espaces vectoriels topologiques ; espaces de Banach, de Fréchet, de Hilbert, de Hausdorff, de Kolmogorov, de Montel, de Baire ; compacts, quasi-compacts, précompacts, paracompacts, bien enchaînés, complets, connexes, simplement connexes, connexes par arcs, localement compacts, localement connexes ; groupes topologiques, anneaux topologiques, etc.). Grothendieck topologySieves i.e « passoires », A device to separate larger objects from smaller objects ; A process, physical or abstract, that arrives at a final result by filtering out unwanted pieces of input from a larger starting set of input. Sheaves i.e « gerbes », Any collection of things bound together; a bundle (un paquet). In category theory, a branch of mathematics, a Grothendieck topology is a structure on a category C which makes the objects of C act like the open sets of a topological space. A category together with a choice of Grothendieck topology is called a site. Grothendieck topologies axiomatize the notion of an open cover. Using the notion of covering provided by a Grothendieck topology, it becomes possible to define sheaves on a category and their cohomology. This was first done in algebraic geometry and algebraic number theory by Alexander Grothendieck to define the étale cohomology of a scheme. It has been used to define other cohomology theories since then, such as l-adic cohomology, flat cohomology, and crystalline cohomology. While Grothendieck topologies are most often used to define cohomology theories, they have found other applications as well, such as to John Tate's theory of rigid analytic geometry. There is a natural way to associate a site to an ordinary topological space, and Grothendieck's theory is loosely regarded as a generalization of classical topology. Under meager point-set hypotheses, namely sobriety, this is completely accurate—it is possible to recover a sober space from its associated site. However simple examples such as the indiscrete topological space show that not all topological spaces can be expressed using Grothendieck topologies. Conversely, there are Grothendieck topologies which do not come from topological spaces. In topology, a
topological space
with the trivial topology is one where the only open sets are the empty
set and the entire space. Such a space is sometimes called an
indiscrete space, and its topology sometimes called an indiscrete
topology. Intuitively, this has the consequence that all points of the
space are "lumped together" and cannot be distinguished by topological
means; it belongs to a pseudometric space in which the distance between
any two points is zero. In a Grothendieck topology, the notion of a collection of open subsets of U stable under inclusion is replaced by the notion of a sieve. If c is any given object in C, a sieve on c is a subfunctor of the functor Hom(−, c); (this is the Yoneda embedding applied to c). In the case of O(X), a sieve S on an open set U selects a collection of open subsets of U which is stable under inclusion. More precisely, consider that for any open subset V of U, S(V) will be a subset of Hom(V, U), which has only one element, the open immersion V → U. Then V will be considered "selected" by S if and only if S(V) is nonempty. If W is a subset of V, then there is a morphism S(V) → S(W) given by composition with the inclusion W → V. If S(V) is non-empty, it follows that S(W) is also non-empty. If S is a sieve on X, and f: Y → X is a morphism, then left composition by f gives a sieve on Y called the pullback of S along f, denoted by fS. It is defined as the fibered product S ×Hom(−, X) Hom(−, Y) together with its natural embedding in Hom(−, Y). More concretely, for each object Z of C, fS(Z) = { g: Z → Y | fg S(Z) }, and fS inherits its action on morphisms by being a subfunctor of Hom(−, Y). In the classical example, the pullback of a collection {Vi} of subsets of U along an inclusion W → U is the collection {Vi∩W}. A Grothendieck topology J on a category C is a collection, for each object c of C, of distinguished sieves on c, denoted by J(c) and called covering sieves of c. This selection will be subject to certain axioms, stated below. Continuing the previous example, a sieve S on an open set U in O(X) will be a covering sieve if and only if the union of all the open sets V for which S(V) is nonempty equals U; in other words, if and only if S gives us a collection of open sets which cover U in the classical sense. AxiomsThe conditions we impose on a Grothendieck topology are:
Grothendieck pretopology Sieves i.e « passoires » ou "crible"; A device to separate larger objects from smaller objects ; A process, physical or abstract, that arrives at a final result by filtering out unwanted pieces of input from a larger starting set of input. Sheaves i.e « gerbes », Any collection of things bound together; a bundle Covering
families i.e : Such a collection is called a sieve. Alternative axiomsIn fact, it is possible to put these axioms in another form where their geometric character is more apparent, assuming that the underlying category C contains certain fibered products. (le produit fibré est une opération entre deux ensembles munis tous deux d'une application vers un même troisième ensemble. Sa définition s'étend à certaines catégories en satisfaisant une propriété universelle de factorisation de diagrammes, en dualité avec la somme amalgamée. Dans des catégories ensemblistes, telles celles des espaces topologiques ou des espaces vectoriels, le produit fibré constitue lui-même un objet de la catégorie.) In this case, instead of specifying sieves, we can specify that certain collections of maps with a common codomain should cover their codomain. These collections are called covering families. If the collection of all covering families satisfies certain axioms, then we say that they form a Grothendieck pretopology. These axioms are:
For any pretopology, the collection of all sieves that contain a covering family from the pretopology is always a Grothendieck topology. For categories with fibered products, there is a converse. Given a collection of arrows {Xα → X}, we construct a sieve S by letting S(Y) be the set of all morphisms Y → X that factor through some arrow Xα → X. This is called the sieve generated by {Xα → X}. Now choose a topology. Say that {Xα → X} is a covering family if and only if the sieve that it generates is a covering sieve for the given topology. It is easy to check that this defines a pretopology. (PT 3) is sometimes replaced by a weaker axiom:
(PT 3) implies (PT 3'), but not conversely. However, suppose that we have a collection of covering families that satisfies (PT 0) through (PT 2) and (PT 3'), but not (PT 3). These families generate a pretopology. The topology generated by the original collection of covering families is then the same as the topology generated by the pretopology, because the sieve generated by an isomorphism Y → X is Hom(−, X). Consequently, if we restrict our attention to topologies, (PT 3) and (PT 3') are equivalent. Let C be a category and let J be a Grothendieck topology on C. The pair (C, J) is called a site. A presheaf on a category is a contravariant functor from C to the category of all sets. Note that for this definition C is not required to have a topology. A sheaf on a site, however, should allow gluing, just like sheaves in classical topology. Consequently, we define a sheaf on a site to be a presheaf F such that for all objects X and all covering sieves S on X, the natural map Hom(Hom(−, X), F) → Hom(S, F), induced by the inclusion of S into Hom(−, X), is a bijection. Halfway in between a presheaf and a sheaf is the notion of a separated presheaf, where the natural map above is required to be only an injection, not a bijection, for all sieves S. A morphism of presheaves or of sheaves is a natural transformation of functors. The category of all sheaves on C is the topos defined by the site (C, J). Using the Yoneda lemma, it is possible to show that a presheaf on the category O(X) is a sheaf on the topology defined above if and only if it is a sheaf in the classical sense. Sheaves on a pretopology have a particularly simple description: For each covering family {Xα → X}, the diagram must be an equalizer. For a separated presheaf, the first arrow need only be injective. Similarly, one can define presheaves and sheaves of abelian groups, rings, modules, and so on. One can require either that a presheaf F is a contravariant functor to the category of abelian groups (or rings, or modules, etc.), or that F be an abelian group (ring, module, etc.) object in the category of all contravariant functors from C to the category of sets. These two definitions are equivalent. Let C be any category. To define the discrete topology, we declare all sieves to be covering sieves. If C has all fibered products, this is equivalent to declaring all families to be covering families. To define the indiscrete topology, we declare only the sieves of the form Hom(−, X) to be covering sieves. The indiscrete topology is also known as the biggest or chaotic topology, and it is generated by the pretopology which has only isomorphisms for covering families. A sheaf on the indiscrete site is the same thing as a presheaf. Small site associated to a topological spaceWe repeat the example which we began with above. Let X be a topological space. We defined O(X) to be the category whose objects are the open sets of X and whose morphisms are inclusions of open sets. The covering sieves on an object U of O(X) were those sieves S satisfying the following condition:
This topology can also naturally be expressed as a pretopology. We say that a family of inclusions {Vα U} is a covering family if and only if the union Vα equals U. This site is called the small site associated to a topological space X. Big site associated to a topological spaceLet Spc be the category of all topological spaces. Given any family of functions {uα : Vα → X}, we say that it is a surjective family or that the morphisms uα are jointly surjective if uα(Vα) equals X. We define a pretopology on Spc by taking the covering families to be surjective families all of whose members are open immersions. Let S be a sieve on Spc. S is a covering sieve for this topology if and only if:
Fix a topological space X. Consider the comma category Spc/X of topological spaces with a fixed continuous map to X. The topology on Spc induces a topology on Spc/X. The covering sieves and covering families are almost exactly the same; the only difference is that now all the maps involved commute with the fixed maps to X. This is the big site associated to a topological space X . Notice that Spc is the big site associated to the one point space. This site was first considered by Jean Giraud. The big and small sites of a manifoldLet M be a manifold. M has a category of open sets O(M) because it is a topological space, and it gets a topology as in the above example. For two open sets U and V of M, the fiber product U ×M V is the open set U ∩ V, which is still in O(M). This means that the topology on O(M) is defined by a pretopology, the same pretopology as before. Let Mfd be the category of all manifolds and continuous maps. (Or smooth manifolds and smooth maps, or real analytic manifolds and analytic maps, etc.) Mfd is a subcategory of Spc, and open immersions are continuous (or smooth, or analytic, etc.), so Mfd inherits a topology from Spc. This lets us construct the big site of the manifold M as the site Mfd/M. We can also define this topology using the same pretopology we used above. Notice that to satisfy (PT 0), we need to check that for any continuous map of manifolds X → Y and any open subset U of Y, the fibered product U ×Y X is in Mfd/M. This is just the statement that the preimage of an open set is open. Notice, however, that not all fibered products exist in Mfd because the preimage of a smooth map at a critical value need not be a manifold. Topologies on the category of schemesSee also: List of topologies on the category of schemes The category of schemes, denoted Sch, has a tremendous number of useful topologies. A complete understanding of some questions may require examining a scheme using several different topologies. All of these topologies have associated small and big sites. The big site is formed by taking the entire category of schemes and their morphisms, together with the covering sieves specified by the topology. The small site over a given scheme is formed by only taking the objects and morphisms which are part of a cover of the given scheme. The most elementary of these is the Zariski topology. Let X be a scheme. X has an underlying topological space, and this topological space determines a Grothendieck topology. The Zariski topology on Sch is generated by the pretopology whose covering families are jointly surjective families of scheme-theoretic open immersions. The covering sieves S for Zar are characterized by the following two properties:
Despite their outward similarities, the topology on Zar is not the restriction of the topology on Spc! This is because there are morphisms of schemes which are topologically open immersions but which are not scheme-theoretic open immersions. For example, let A be a non-reduced ring and let N be its ideal of nilpotents. The quotient map A → A/N induces a map Spec A/N → Spec A which is the identity on underlying topological spaces. To be a scheme-theoretic open immersion it must also induce an isomorphism on structure sheaves, which this map does not do. In fact, this map is a closed immersion. The étale topology is finer than the Zariski topology. It was the first Grothendieck topology to be closely studied. Its covering families are jointly surjective families of étale morphisms. It is finer than the Nisnevich topology, but neither finer nor coarser than the cdh and l′ topologies. There are two flat topologies, the fppf topology and the fpqc topology. fppf stands for fidèlement plate de présentation finie, and in this topology, a morphism of affine schemes is a covering morphism if it is faithfully flat, of finite presentation, and is quasi-finite. fpqc stands for fidèlement plate et quasi-compacte, and in this topology, a morphism of affine schemes is a covering morphism if it is faithfully flat. In both categories, a covering family is defined be a family which is a cover on Zariski open subsets.[1] In the fpqc topology, any faithfully flat and quasi-compact morphism is a cover.[2] These topologies are closely related to descent. The fpqc topology is finer than all the topologies mentioned above, and it is very close to the canonical topology. Grothendieck introduced crystalline cohomology to study the p-torsion part of the cohomology of characteristic p varieties. In the crystalline topology which is the basis of this theory, covering maps are given by infinitesimal thickenings together with divided power structures. The crystalline covers of a fixed scheme form a category with no final object. Continuous and cocontinuous functorsThere are two natural types of functors between sites. They are given by functors which are compatible with the topology in a certain sense. Continuous functorsIf (C, J) and (D, K) are sites and u : C → D is a functor, then u is continuous if for every sheaf F on D with respect to the topology K, the presheaf Fu is a sheaf with respect to the topology J. Continuous functors induce functors between the corresponding topoi by sending a sheaf F to Fu. These functors are called pushforwards. If and denote the topoi associated to C and D, then the pushforward functor is . us admits a left adjoint us called the pullback. us need not preserve limits, even finite limits. In the same way, u sends a sieve on an object X of C to a sieve on the object uX of D. A continuous functor sends covering sieves to covering sieves. If J is the topology defined by a pretopology, and if u commutes with fibered products, then u is continuous if and only if it sends covering sieves to covering sieves and if and only if it sends covering families to covering families. In general, it is not sufficient for u to send covering sieves to covering sieves (see SGA IV 3, Exemple 1.9.3). Cocontinuous functorsAgain, let (C, J) and (D, K) be sites and v : C → D be a functor. If X is an object of C and R is a sieve on vX, then R can be pulled back to a sieve S as follows: A morphism f : Z → X is in S if and only if v(f) : vZ → vX is in R. This defines a sieve. v is cocontinuous if and only if for every object X of C and every covering sieve R of vX, the pullback S of R is a covering sieve on X. Composition with v sends a presheaf F on D to a presheaf Fv on C, but if v is cocontinuous, this need not send sheaves to sheaves. However, this functor on presheaf categories, usually denoted , admits a right adjoint . Then v is cocontinuous if and only if sends sheaves to sheaves, that is, if and only if it restricts to a functor . In this case, the composite of with the associated sheaf functor is a left adjoint of v* denoted v*. Furthermore, v* preserves finite limits, so the adjoint functors v* and v* determine a geometric morphism of topoi . Morphisms of sitesA continuous functor u : C → D is a morphism of sites D → C (not C → D) if us preserves finite limits. In this case, us and us determine a geometric morphism of topoi . The reasoning behind the convention that a continuous functor C → D is said to determine a morphism of sites in the opposite direction is that this agrees with the intuition coming from the case of topological spaces. A continuous map of topological spaces X → Y determines a continuous functor O(Y) → O(X). Since the original map on topological spaces is said to send X to Y, the morphism of sites is said to as well. A particular case of this happens when a continuous functor admits a left adjoint. Suppose that u : C → D and v : D → C are functors with u right adjoint to v. Then u is continuous if and only if v is cocontinuous, and when this happens, us is naturally isomorphic to v* and us is naturally isomorphic to v*. In particular, u is a morphism of sites. Prétopologie selon Marcel Brissaud et le groupe Z. Belmandt,repris par l'association Pretopologics Longtemps les ensembles ont été considérés comme un monde de patatoïdes, un peu comme des météorites galactiques (des sacs de marrons ou boîte d'allumettes pour les enfants). La physique les a peuplés de particules et de molécules (Atomium) et de galaxies. La théorie de l'information les met en réseaux de réseaux que la théorie des graphes habille en nœuds, arrêtes ou sommets, mis en relation par des liens ou arcs, (ponts, passerelles ou bords à tirer), formant des parcours (chaînes, cycles, chemins ou circuits), mais aussi des structures. En topologie algébrique, si les graphes représentent un ensemble de même propriété, de même nature, les paramètres mis en jeu seront des quantités de pondération des nœuds et de liens, mis en relation par des formules (sommes pondérées, etc.) En topologie, proprement dit, se sont les relations entre noeuds créant des structures particulières, engendrant des fonctionnalités statiques ou dynamiques particulières . Et les degrés de proximités successives ou de positions relatives entre-eux vont prendre de l'intérêt. On voit bien que se sont les classes d'équivalence et d'ordre qui organisent les structures. Et tout graphe de sommets variés est décomposé en sous graphes connexes superposés. Nous utiliserons les travaux exprimés par Vincent Levorato dans sa thèse de 2010 en informatique : Contributions à la Modélisation des Réseaux Complexes : Prétopologie et Applications. Nous y retrouvons les définitions explicitées dans les ouvrages de Prétopologie chez Hermès (1993) et Hermann (2009). Ainsi : « L’historique de cette idée débute dans les années 20 quand Fréchet visait à construire une topologie ayant moins d’axiomes [33]. Puis Appert reprit ces travaux dans les années 30, suivi par Monteiro dans les années 40 puis par Ky-Fan. Dans les années 60, Cech décrivait dans son ouvrage des structures topologiques privées de l’axiome idempotence [20]. C’est au début des années 70 que des chercheurs français (Marcel Brissaud, Gérard Duru, Jean-Paul Auray, Michel Lamure [...] pour ne citer qu’eux) débuteront leurs travaux sur la prétopologie et comment trouver une formalisation du concept de proximité, afin de résoudre des problématiques difficiles liées à la contrainte de l’outil mathématique utilisé, ici la topologie. Dans le cadre de mes travaux, la prétopologie est à mon sens l’outil permettant d’aller plus loin que la théorie des graphes habituellement utilisée pour représenter les réseaux. Son cadre général, ainsi que sa capacité à représenter la dynamique d’un système en font l’outil adéquat pour la modélisation des réseaux complexes. Dans cette partie, des définitions liées à la prétopologie sont données, ainsi qu’une définition générale d’un réseau. Nous proposerons ensuite des choix de structures de données adaptées dans le but de limiter la complexité des opérations afin de pouvoir construire des simulations exploitables, que nous appliquons sur plusieurs problématiques ». La théorie de la prétopologie Cette section énonce les définitions de la prétopologie utilisées pour les travaux de recherche présentés dans ce mémoire, l’ouvrage de référence [7] contenant une présentation exhaustive de la prétopologie. [7] Z. Belmandt. Manuel de prétopologie et ses applications : Sciences humaines et sociales, réseaux, jeux, reconnaissance des formes, processus et modèles, classification, imagerie, mathématiques. Hermes Sciences Publications, 1993. Espace prétopologique Soit E un ensemble non vide, et soit P(E) l’ensemble des parties de E. Définition de l'adhérence Soit une application a : P(E) → P(E) appelée adhérence et définie comme suit : ∀A, A ⊆ E l’adhérence de A, a(A) ⊆ E est telle que :
L’adhérence est associée au processus de dilatation. De plus, a(.) peut être appliquée à A selon une séquence : A ⊆ a(A) ⊆ a2(A) ⊆ ... . Cela signifie que l’on peut suivre le processus pas à pas, ce qui n’est pas possible avec la topologie, qui conserve la propriété d’idempotence (a(A) = a2(A)) [17]. Grâce à l’adhérence, on peut directement modéliser la notion de proximité. En terme de complexité, le coût d’une adhérence sera étudié lors de la partie concernant les structures de données utilisées en prétopologie. Définition de l'intérieur Soit une application i : P(E) → P(E) appelée intérieur et définie comme suit : ∀A, A ⊆ E l’intérieur de A, i(A) ⊆ E est telle que : – i(A) = [a(Ac )]c (P1) – i(A) ⊆ A (P2) avec A c le complémentaire de A soit E − A. L’intérieur est quant à lui associé au processus d’érosion. Notons que la propriété 1 de l’intérieur amenant la dualité n’est pas toujours vraie. Il est possible de définir une application intérieur indépendamment de l’adhérence. Dans le Z. Belmandt (Hermes, 1993, p 25-30), qui rappelle un peu la morphologie mathématique de Matheron et Serra, l'adhérence est définie par un processus d'extension (dilatation) de P(E) → P(E) tel que ∀A appartenant à P(E), a(A) inclu A. Un autre processus dual dit d'érosion définit l'intérieur i de P(E) → P(E) tel que ∀A appartenant à P(E), i(A) est inclu dans A. On appelle espace prétopologique le triplet (E,i,a) dont les applications i et a sont définies précédemment. Fermés et Ouverts, Fermeture et Ouverture Le processus de dilatation généré par l’adhérence s’arrête à un instant donné et n’évolue plus. Dans ce cas, on a ak+1(A) = ak(A). On nomme A comme étant un sous ensemble fermé. De la même manière, l’évolution de l’intérieur va cesser, ce qui nous donne ik+1(A) = ik(A). Cette fois, on nomme A comme étant un sous ensemble ouvert. Respectivement, on utilise les notations F(A) pour la fermeture de A et O(A) pour l’ouverture de A. La complexité d’un fermé, si on prend l’adhérence comme opération de base, se fait au pire en O(n × coût d’une adhérence). Fermés élémentaires et fermés minimaux On appellera fermé élémentaire et on notera Fx, la fermeture d’un singleton {x} de E. On note Fe(E, a) ou Fe, l’ensemble des fermés élémentaires de E : Fe(E,a) = {Fx, x
∈ E}
L’algorithme (Alg. 2.2.3) permet le calcul de la famille des fermés élémentaires , et si on prend comme opération de base l’adhérence, la complexité de cet algorithme qui comprend deux boucles imbriquées est, dans le pire des cas, en O(n2 × coût d’une adhérence). On appelle fermé minimal de E, tout élément de F(E,a), minimal au sens de l’inclusion. L’ensemble des fermés minimaux est noté : Fm(E,a) ou Fm. Un résultat important est que tout fermé minimal est obligatoirement élément de Fe, c’est à dire un fermé élémentaire. Déterminer les fermés minimaux revient donc à explorer les éléments de Fe et en extraire les éléments minimaux par la relation d’inclusion. L’algorithme [15] permettant le calcul de la famille des fermés minimaux (Alg. 2.2.3), comprend également deux boucles imbriquées, donc la complexité dans le pire des cas est en O(n2) (l’adhérence n’intervient pas dans ce cas). Espace prétopologique de type V Un espace prétopologique général comme défini ultérieurement ne présente que peu d’intérêt en l’état, car il est difficile d’en faire une analyse. Il faut donc amener une nouvelle propriété pour rendre cet espace prétopologique plus «intéressant», d’où la définition d’un nouvel espace prétopologique : le type V. Un espace prétopologique de type V (E,i,a) est défini comme suit : ∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec a(A) ⊆ a(B) ∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec i(A) ⊆ i(B) D’autres types d’espaces existent : Espace prétopologique de type Vd Un espace prétopologique de type Vd (E,i,a) est défini comme suit : ∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec a(A ∪ B) = a(A) ∪ a(B) ∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec i(A ∩ B) = i(A) ∩ i(B) Tout espace de type Vd est de type V. Espace prétopologique de type Vs Un espace prétopologique de type Vs (E,i,a) est défini comme suit : ∀A, A ⊆ E, avec a(A) = ∪ a({x}) ∀ x∈A Un espace de type Vs est clairement de type Vd. Les applications a et i ne sont pas forcément idempotentes. On ne doit pas confondre une prétopologie de type Vs et une topologie. Les types d’espaces les plus utilisés dans nos études sont les types V et Vs . Préfiltre et base de voisinage Comme écrit plus haut, le concept de proximité en prétopologie est fondamental, c’est pour cela qu’il nous faut définir ce que l’on appelle «être proche » d’un élément, autrement dit être dans le voisinage de cet élément. Pour cela il faut définir ce voisinage par un préfiltre et une base de voisinage. Préfiltre Une notion essentielle de la topologie est la notion de filtres, qui conduit à celle de voisinage. En prétopologie, non seulement nous conservons cette notion, mais nous définissons en outre celle de préfiltre. Une partie F de P(E) est un préfiltre sur E si elle vérifie la propriété de stabilité par passage à tout sur-ensemble : ∀ F ∈ F,∀ H ∈ P(E), F ⊂ H ⇒ H ∈ F Soit (E,i,a) un espace prétopologique de type V. Pour tout x de E, on définit le préfiltre V (x) de parties de E par : V(x)={V ⊆ E/ x∈i(V)} Les éléments de V(x) sont appelés voisinage de x. Pour comprendre la relation avec les applications adhérence et intérieur, on les définit à partir d’un préfiltre V(x) : a(A)={x∈E/ ∀V, V ∈V(x),V ∩A ≠ ∅} i(A)={x∈E/ ∀V, V ∈V(x), V ⊆A} Base de voisinage Soit B(x) la base de V(x) définie comme suit : ∀ V, V ∈ V(x), ∃B, B ∈ B(x), B ⊆ V On définit ainsi l’adhérence comme suit : a(A) = {x ∈ E/ ∀ B, B ∈ B(x), B ∩ A≠ ∅} Il existe plusieurs manières de définir la base de voisinage selon la problématique étudiée. Par exemple, dans [52], on définit une population où les éléments sont reliés par une ou plusieurs relations binaires Ri réflexives, soit pour tout i, la partie Bi(x) étant construite pour chaque x appartenant à E de la manière suivante : Bi(x) = {y ∈ E/ x Ri y}. Un autre cas tiré de [48] où E est doté d’une métrique définie par une distance et où la base de voisinage pour chaque x appartenant à E et r ∈ R+ est définie comme suit : B(x,r) = {y ∈ E, d(x,y) ≤ r} Modélisation d’un réseau par la prétopologie Il y a plusieurs raisons pour utiliser la théorie de la prétopologie dans la modélisation des réseaux : les modèles utilisant la théorie des graphes ont certaines limites. - Premièrement, on ne peut pas dissocier les liens : orientés ou non, ils sont tous de nature identique. Si l’on veut utiliser n différentes relations entre les noeuds, il faut construire n graphes différents ce qui semble peu pratique [54]. - Deuxièmement, tous les modèles utilisant la théorie des graphes présentés jusqu’alors dans les études récentes ont au moins une propriété qui ne correspond pas aux réseaux du réel [56]. - Et troisièmement, les relations se font par paires de noeuds, on ne peut donc pas avoir de relations entre un groupe de noeuds et un noeud par exemple. Les hypergraphes répondent à ce problème, mais sont un cas particulier d’espace prétopologique [7]. Où les autres modèles ont échoué, la théorie de la prétopologie peut apporter une réponse. Définition d’un réseau en prétopologie Un réseau peut être défini comme une famille de relations binaires ou valuées définies sur une population donnée [24]. La dynamique du réseau est basée sur des opérations telle que l’arrivée de nouveaux éléments, l’éviction d’éléments existants, la formation de groupe ou la séparation en sous-groupes (voir Fig. 2.3). Ces phénomènes sont souvent observables dans les réseaux sociaux sous forme de communautés [5] mais également dans le cas des réseaux de manière plus générale. Dans le cadre de la prétopologie, un réseau est une famille de prétopologies sur un ensemble donné [23], d’où la définition suivante : Soit X un ensemble : soit I une famille dénombrable d’indices ; soit {ai, i ∈ I} une famille de prétopologies sur Xi ; la famille d’espaces prétopologiques {(X, ai), i ∈ I} constitue un réseau sur X. Structures de données adaptée à la prétopologie Comme précisé précédemment, les deux types d’espaces prétopologiques qui nous intéressent sont le type V et le type Vs. Ces deux espaces ne sont pas tout à fait basés sur le même type de structure de données. Mais quelle structure de données serait assez efficace pour permettre des opérations rapides sur de tels espaces ? A notre sens, la structure de données la plus efficace est la table de hachage. Modélisation des réseaux complexes par la théorie des graphes Coefficient de regroupement, assortativité et d’augmentation d’un graphe. Le coefficient de regroupement C également appelé ”clustering coefficient” est la probabilité que deux voisins d’un sommet donné soient voisins entre eux. Cela correspond à la densité locale d’un sommet. Soit di le degré d’un sommet i, C(i) = 2 × |nbre de liens entre les voisins de i/ di(di − 1) Le degré de corrélation se calcule grâce à la moyenne des degrés des voisins d’un noeud. Pour faire simple, cela répond à la question : est-ce que dans un réseau, les sommets ayant un degré élevé sont de préférence connectés à d’autres sommets avec un degré élevé, ou sont plutôt connectés à des sommets ayant un faible degré ? Degré moyen des voisins d’un sommet i (avec arêtes pondérées) : Assortativité d’un graphe :
Un graphe augmenté G = (V,E,E′) est un graphe obtenu à partir d’un graphe H = (V,E), en ajoutant un ensemble d’arêtes supplémentaires E′ sur V . La distance sous-jacente de u à v dans G est la distance de u à v dans H. Pour finir, on analyse souvent la distribution des degrés des sommets d’un graphe (Fig. 1.13). Deux distributions de degrés sont connues : – une distribution homogène des degrés des noeuds (selon une loi de Poisson) – une distribution hétérogène des degrés des noeuds (selon une loi de Puissance) Les graphes dont la distribution des degrés suit une loi de puissance (pk ∼ k−α) se retrouvent être la modélisation de la plupart des réseaux réels [82] comme le World Wide Web, Internet, les réseaux biologiques ou encore téléphoniques. Mais dans tous les cas : Un morphisme de graphe ou homomorphisme de graphe est une application entre deux graphes qui respecte la structure de ces graphes. Autrement dit l'image d'un graphe dans un graphe doit respecter les relations d'adjacence (Synonyme : relation de voisinage) présentes dans . Les graphes associés aux homomorphismes de graphes forment une catégorie au sens de la théorie des catégories.
Espaces de Texture Prétopologique selon Patrick Saint-Jean Dès 1967, Patrick Saint-Jean développe des travaux en Musiques Formelles (Iannis Xenakis) où il se confronte à des problèmes de combinatoire et de permutation en architecture sonore qui ne satisfont pas à ses problématiques de texture sonore, timbrale et orchestrale. Il montre qu'il existe des trans-combinaisons, combinatoire entre des ensembles de natures différentes ou d'un ensemble avec son environnement, fondées sur la représentation du cube dans la n-ième dimension, alors que la combinatoire est fondée sur la représentation du triangle dans n-ième dimension (triangle de Pascal). Parallèlement une « texturologie prétopologique » va se mettre en place entre Patrick Saint-Jean et le berceau lyonnais : en 1971, Jean-Pierre Landrieu, professeur de mathématique à l'ESIEA signale dans son cours de Topologie, l'existence de quasi, pseudo et pré-topologie invitant les élèves à s'y intéresser dans leur projet. Pour stimuler la recherche et la démonstration mathématique, les seules informations qu'il donnera sur la pré-topologie est « d'enlever le quatrième axiome des voisinages topologiques » sans dévoiler les travaux de Marcel Brissaud et Gérard Duru. Dans son projet Patrick Saint-Jean développera une systématique de la démonstration à partir de la Théorie des Catégories et démontrera les prévoisinages à partir des travaux de N. Bourbaki et ceux de Lipschutz, qu'il fera évoluer en 73 pour des besoins de topologie de réseau à destruction partielle avec les processus markoviens prétopologiques, puis en 74 au CEMAMu-CNET avec les textures de quanta sonores et de textures prétopologiques incorporable dans l'UPIC qu'il a conçu en 1975 pour Iannis Xenakis, et dès 74 au CEA avec les textures prétopologiques d'image en microscopie quantitative. Alors qu'il a déjà mis en place les Texturologies Quantiques Prétopologiques (1982), en 2004, il s'aperçoit que ses travaux initiaux son proche de Gérard Duru, mais les relations se mettront en place qu'avec Michel Terrenoire et Michel Lamure (dans un seul sens) puis dans les deux avec Hubert Emptoz qui sera rapporteur de sa thèse en 1989. Ce n'est qu'en 2010 qu'il rejoindra l'association Pretopologics où il découvre une floraison de chercheurs sur les systèmes complexes, mais qui sont restés dans la catégorie topologique à relation par foncteur transitif.
Avec
un
peu d'humour, à
l'instar de Leibniz
qui écrit à 18 ans en 1666, "De
l'art combinatoire",
point de départ d'une réforme profonde de la logique et
d'importantes recherches en mathématiques, Patrick
Saint-Jean
écrit un calcul trois siècles après, en 1967 à 18 ans qui annonce peut
être celui
"De
l'art trans-combinatoire". Humour
caractérisé par le fait qu'en art,
passer de la triologie à la tétralogie rajoute aux trois tragédies
celui du drame satyrique. Ce qui est le cas de la combinatoire comme
représentation du triangle dans la n-ième dimension (triangle de
Pascal) alors que la trans-combinatoire est la representation du cube
dans la n-ième dimension. On remarquera que la variété
trans-combinatoire est beaucoup plus grande que la variété
combinatoire. Elle introduit le point de vue local et la combinaison
d'éléments de propriétés différentes ou la relation d'adjacence n'est
pas transitive. D'où toute
son
importance dans les jeux et les finances spéculatoires, mais aussi dans
le besoin de résoudre des problèmes d'ordre humain et sociologique où
la philosophie de la relation et de la différence du construire
ensemble prend toute son importance dans l'analyse et la démocratie
participative, un peu comme l'apport de l'urbanisme à l'architecture. Pour information détaillée sur les travaux initiaux résultats des années 70-80, voici les publications en anglais, TQPMAMUPHI/PretopologicalTheoryPSt-Jean.html TQPMAMUPHI/PretopologicalTextureModelPSt-Jean.html ainsi que le mémoire d'ingénieur ESIEA 1977, et le mémoire de thèse de doctorat 1989 de l'Université de Paris XIII. TQPMAMUPHI/MemoireESIEA1977PatrickSaint-Jean.html TQPMAMUPHI/TheseParis13GBM1989PatrickSaint-Jean.html Transitif, pas transitif, non transitif, anti-transitif, intransitif ?La question est posée posant tant des problèmes d’anglicisme que de mathématique. En théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble. Un ensemble X est dit transitif si
c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) :
ce qui revient à (en notant ∪X la réunion des éléments de X) :
On parle également de classe transitive, avec la même définition : tout ensemble élément de la classe est également une partie de celle-ci. L'ensemble vide et le singleton {∅} sont des exemples d'ensembles transitifs. Par contre le singleton {1} (où 1 = {∅}) n'est pas transitif :
OrdinauxLes entiers de von Neumann sont des ensembles transitifs :
Par exemple, pour l’ordinal on a et . En effet et . De façon plus générale les ordinaux de von Neumann, dont les entiers précédents sont les premiers éléments, sont aussi des ensembles transitifs. On peut d'ailleurs les définir comme les ensembles transitifs sur laquelle l'appartenance définit une relation d'ordre strict dont l'ordre large associé est un bon ordre. La classe de tous les ordinaux est une classe transitive : les éléments d'un ordinal sont des ordinaux. Par transitivité l'appartenance entre deux ordinaux entraîne l'inclusion. On démontre que la relation d'inclusion sur les ordinaux est en fait la relation d'ordre large associée à l'appartenance (« appartient ou égal »). Clôture transitiveOn montre dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), que pour tout ensemble X, il existe un unique ensemble transitif Y contenant X et contenu dans tout ensemble transitif contenant X. On l'appelle clôture transitive de X. La clôture transitive est définie par récurrence sur les entiers naturels, représentés par les entiers de von Neumann dans le cadre ensembliste (on note ∪A la réunion des éléments de A, et ω l'ensemble des entiers de von Neumann) :
Cette définition utilise le schéma d'axiomes de remplacement (pour que la suite des Yn soit bien une fonction, au sens ensembliste, définie sur ω).
The transitive
closure
of a binary
relation R
on a set
X
is the transitive
relation R+
on set
X
such that R+
contains R
and R+
is minimal (Lidl and Pilz 1998:337). La fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des ensembles. La
fermeture
transitive d'une relation
binaire
sur un ensemble
est la plus petite relation
transitive
sur
contenant 1.
Ce qui peut également se traduire ainsi : La fermeture transitive d'un graphe est un graphe tel qu'il existe un arc entre toute paire de sommets entre lesquels il existe un chemin. Ceci s'exprime également ainsi : A transitive reduction of a binary relation R on a set X is a minimal relation on X such that the transitive closure of is the same as the transitive closure of R. If the transitive closure of R is antisymmetric and finite, then is unique. However, neither existence nor uniqueness of transitive reductions is guaranteed in general. In graph theory, any binary relation R on a set X may be thought of as a directed graph (V, A), where V = X is the vertex set and A = R is the set of arcs of the graph. The transitive reduction of a graph is sometimes referred to as its minimal representation. The following image displays drawings of graphs corresponding to a non-transitive binary relation (on the left) and its transitive reduction (on the right). The transitive reduction of a finite directed acyclic graph is unique. The transitive reduction of a finite partially ordered set is its covering relation, which is given visual expression by means of a Hasse diagram. The transitive reduction of an acyclic relation can be computed using its transitive closure : La transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire, mais non exclusive. Une relation binaire définie sur un ensemble est transitive quand, à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement :
Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.» On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement :
On dit alors que la relation binaire est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante :
On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi). Les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables : aucune des deux n'entraîne l'autre, en particulier une relation, même non vide, peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y, z) vérifiant x R y et y R z). Des exemples naturels montrent la variété de situations entre le transitif, le non transitif, l'anti-transitif et l'intransitif :
Une relation de différence dans un ensemble est une relation binaire qui est à la fois réflexive, symétrique et non transitive. Ne pas confondre avec les relations de différenciation sur le quantitatif. La différence est de nature qualitative. Des dés non transitifs sont un ensemble de dés où, si un premier dé a plus de chances de donner un plus grand résultat qu'un deuxième et si celui-ci a plus de chance qu'un troisième, ce dernier peut tout de même avoir plus de chance de l'emporter sur le premier. En d'autres termes, la relation « a une plus grande probabilité de donner un plus grand nombre » n'y est pas transitive. Cette situation est similaire à celle du jeu pierre-feuille-ciseaux où chaque élément gagne par rapport à l'un des deux autres et perd par rapport au dernier. Le phénomène de Rogers, attribué à Will Rogers, est un paradoxe qui fait monter la moyenne de deux ensembles lorsqu'on déplace un élément de l'un vers l'autre. Le jeu de Tic tac toe est une jeu de transitivité non-transitivité.
Chez les anglophones :
Often the term intransitive is used to refer to the stronger property of antitransitivity. We just saw that the feed on relation is not transitive, but it still contains some transitivity: for instance: humans feed on rabbits, rabbits feed on carrots, and humans also feed on carrots. The term intransitivity is often used when speaking of scenarios in which a relation describes the relative preferences between pairs of options, and weighing several options produces a "loop" of preference:
Rock, paper, scissors is an example. Assuming no option is preferred to itself i.e. the relation is irreflexive, a preference relation with a loop is not transitive. For if it is, each option in the loop is preferred to each option, including itself. This can be illustrated for this example of a loop among A, B, and C. Assume the relation is transitive. Then, since A is preferred to B and B is preferred to C, also A is preferred to C. But then, since C is preferred to A, also A is preferred to A. Therefore such a preference loop (or "cycle") is known as an intransitivity.
Quasitransitivity is a weakened version of transitivity that is used in social choice theory or microeconomics. Informally, a relation is quasitransitive if it is symmetric for some values and transitive elsewhere. A binary relation T over a set X is quasitransitive if for all a, b, and c in X the following holds: If the relation is also antisymmetric, T is transitive. Alternately, for a relation T, define the asymmetric part P: Then T is quasitransitive iff P is transitive. Preferences are assumed to be quasitransitive (rather than transitive) in some economic contexts. The classic example is a person indifferent between 10 and 11 grams of sugar and indifferent between 11 and 12 grams of sugar, but who prefers 12 grams of sugar to 10.
Nous voyons donc qu'il existe une dualité entre le transitif et le non-transitif qui peut se réunir dans la transitivité partielle ou la non-transitivité partielle. Faire vivre cette dualité, c'est accepter qu'il existe des morphismes et des foncteurs hétérogènes formant des précatégories et des prétopologies androgènes. On dira que tout est question de voisinage, ou plutôt de prévoisinage homomorphique ou hétéromorphique voire andromorphique où le dosage est plus subtil et plus riche en variétés de structures et de fonctionalités. Ces textures prétopologiques nous guiderons naturellement vers les texturologies quantiques prétopologiques pour les grandes collections finies et à structures dynamiques.
Voisinage et prévoisinage Espace topologique et relation binaire transitive Soit une topologie T sur un ensemble X définie à partir d'une famille V(x) de sous-ensembles de "voisinages de x", satisfaisant pour chaque élément x de X aux quatre axiomes suivants : Toute partie de X contenant un élément de V(x) appartient à V(x) :
Toute intersection finie d'éléments de V(x) appartient à V(x) : V(x) est non vide et x appartient à tous les éléments de V(x) :
Pour tout élément x de X et V1 de V(x), il existe un élément V2 de V(x) tel que pour tout élément y appartenant à cet autre élément V2 de V(x), le premier élément V1 de V(x) appartient aussi à V(y) : Alors V(x) est un système de voisinages de x, et (X,T) est un espace topologique défini sur X (Bourbaki 64, Lipschutz 65).
THEOREME : Les propriétés de réflexivité et de transitivité de la relation binaire définissent un espace topologique sur un ensemble. Les relations binaires ayant des propriétés de réflexivité et de transitivité, sont les relations d'équivalence et d'ordre, la propriété de symétrie et d'anti-symétrie les différenciant. Espace prétopologique et relation binaire non transitive Pour obtenir un espace prétopologique de l'espace topologique, il est nécessaire que les propriétés des éléments de l'ensemble X ne satisfassent pas à l'axiome (4) des voisinages. THEOREME : Les propriétés de réflexivité et de non transitivité d'une relation ne définissent pas un espace topologique sur un ensemble mais un espace prétopologique. Remarque : La non transitivité est soit l'intransitivité dans un espace à une dimension, soit une transitivité partielle dans les espaces de dimension supérieure. En fait l'absence de l'axiome (4) est insuffisant pour définir les prévoisinages et il est préférable de définir un axiome de prévoisinage (4-bis), compatible avec la non transitivité de la relation binaire : Pour tout élément x de X et V de V(x), il existe au moins un élément y de X, différent de x, et appartenant à V' de V(x) tel que V n'appartient pas à V(y) : Cet axiome permet d'une part de construire un espace prétopologique sans passer par un espace topologique et d'autre part de différencier celui-ci des autres espaces prétopologiques construits à partir de propriétés différentes. Si nous percevons et décrivons un ensemble par l'aspect relationnel de ses éléments, il est restrictif et particulier d'utiliser uniquement des relations d'équivalence ou d'ordre nécessairement topologiques.
Espace de texture prétopologique et composition de relations Une faculté de la perception est de comparer des espaces, des instants, des concepts, pour construire des sous-ensembles par rapport à leurs propriétés intrinsèques, et par rapport aux autres sous-ensembles ayant des propriétés intrinsèques différentes et qui du fait de ces différences engendre des configurations et des dispositions à l'intérieur de l'ensemble liés aux arrangements et liaisons des éléments et groupes d'éléments. La composition mathématique de relations binaires donne pour résultat soit une relation transitive, si et seulement si toutes les relations composées sont des relations transitives, soit une relation non transitive, si et seulement si au moins une seule des relations composées est une relation non transitive. Ainsi la composition des relations binaires nous permet de prendre en compte des frontières liées aux différences par les relations non transitives et des groupes liés aux similitudes par les relations transitives, et de créer des interférences entre des propriétés des deux genres, le résultat étant une relation non transitive définissant sur l'ensemble observé un ESPACE DE TEXTURE PRETOPOLOGIQUE, qui est un espace prétopologique. L'existence d'interférences entre des propriétés définit pour nous la notion de TEXTURE. Nous pouvons donc en différencier deux types :
Méthodes de construction des espaces de texture prétopologique Pour définir l'organisation structuro-fonctionnelle d'un ensemble, soit comme espace topologique, ou espace prétopologique, ou espace de texture prétopologique, plusieurs chemins peuvent être suivis suivant l'objectif et les moyens utilisés : - L'état de fait : par connaissance, par vérification ou par définition, les éléments de l'ensemble possèdent les propriétés qui définissent l'organisation de l'ensemble. - L'état d'observation statique : dans des conditions donnés, l'observateur perçoit des propriétés qui définissent l'organisation de l'ensemble. La délimitation des champs d'observation et des moyens de mesure quantitative ou qualitative, masque, inhibe, dévoile ou stimule les propriétés des éléments qui définissent le type d'espace de représentation. - Le
processus
d'observation : l'observateur a des moyens d'action sur
l'environnement observé et sur son observation. L'observateur se
déplace dans l'environnement et dans les espaces mathématiques par
ajout ou retrait de propriétés selon l'existence ou non d'après
vérification ou simulation. Ici l'observateur peut donc faire varier
des degrés (résolution) ou des bornes (offset, gain) pour faire changer
la perception des éléments (plage de mesure, contraste et
différentiation optimisés) avec un controle visuel ou de façon
automatique algorithmique ou régulée
(mesure-analyse-traitement-synthèse-choix-action de réglage en boucle donnant
une série
convergente aux frontières irréductibles).
Soit une banque de données, fournie par l'observation d'un système complexe, et représentée par un ensemble X de N éléments xi, points de l'image d'une entité réelle ou abstraite perçue et placée dans l'espace d'informations : X = { xi / i = { 1,...,N } } Les points d'une telle image ont des propriétés quantitatives ou qualitatives. Un type de propriété constitue un paramètre de l'image. La propriété elle-même quantifiée donne la valeur de la mesure ou, si elle est numérotée, la valeur du paramètre. Les paramètres sont indicés suivant les entiers naturels : J = { 1,2,...,n }, où n est le nombre total de paramètres. Par exemple, ces paramètres sont temporels (instant, durée) ou spatiaux (lieux, coordonnées, distances, zones, etc.) ou qualitatifs quantifiés (fonctions, critères morphologiques, critères subjectifs, impressions, etc.). Soit un point muni d'une propriété, noté xij. Un point de l'image muni de l'ensemble de ses propriétés est un ensemble de points paramétrés : Un système informatique est capable de mesurer ou de calculer, sur l'image "mentale" de l'environnement réel observé, un ensemble I de paramètres indicés par J. Dans cet ensemble I, il est possible de définir des sous-ensembles I' de paramètres mis en jeu par le système sur une image donnée. Remarque : le point image xi est une entité virtuelle ; sa représentation ne peut se faire que par la visualisation du point muni de ses propriétés xij, j appartenant à I'. Relations entre les paramètres : Soient sur l'ensemble de points paramétrés de l'image, des relations binaires réflexives séparables en deux groupes par leur propriété de transitivité et de non transitivité. La relation transitive positionne de façon générale les éléments xij de X en relation avec un élément xkj donné quand ce dernier parcourt X : xij R1 xkj <==> xij et xkj ont une propriété équivalente j xij R2 xkj <==> xij et xkj ont une propriété ordonnée de type j La propriété de transitivité donne une PERCEPTION GLOBALE de la relation entre les éléments de l'ensemble X. En effet xij en relation avec xkj peut être n'importe quel élément de X. La relation concerne le même type de propriété j pour les deux éléments. C'est une mesure relationnelle absolue car elle positionne des points par rapport à chaque autre point pris pour référence absolue pour lui donner une propriété. C'est donc une relation d'état. La relation non transitive positionne de façon particulière les éléments xab de X par rapport à un élément xcd parcourant X. xab R3 xcd <==> xcd inclut xab dans sa propriété d quelque soit b Par exemple, dans ce cas, la propriété d des xcd est d'être associés à des xab, quel que soit leur propriété b, pour former un entourage, une zone, une distance, une structure ou une fonction. La propriété de non transitivité donne une PERCEPTION LOCALE de la relation entre les éléments de l'ensemble X. En effet xab en relation avec xcd lui est associé pour donner la propriété d. C'est une mesure relationnelle relative. Elle positionne un point de X avec chaque autre point pris pour référence relative en lui donnant une propriété. C'est une relation de transition d'états. Texture par interférences relationnelles Les relations forment des partitions telles que : Ainsi les éléments de la partition P(s) pour le type de propriété s (ou paramètre) sont les sous-ensembles P(s,r) de X des éléments xi prenant la propriété r (valeur du paramètre). La composition de deux relations (par exemple R1 et R3) forme des sous ensembles W((s,r),(t,u)) de X, qui possèdent les deux propriétés : et constituent la famille des éléments de texture : Pour comparer les éléments de texture, une distance exprime la différence entre deux éléments comme suit : Les éléments de texture étant comparable, la séparation en sous-ensembles est créée par une frontière définie par la distance : les éléments dont la distance est inférieure ou égale à un, font partie d'un même ensemble. Les sous-ensembles créés ont des éléments possédant soit une relation commune (transitive ou non transitive) soit les deux et caractérisent par conséquent l'interférence relationnelle. Chaque sous-ensembles correspond à une boule centrée sur un élément de texture et de rayon unitaire : B(W((s,r),(t,u)),1) Texture prétopologique par interférences relationnelles Pour chaque élément de texture, définissons une famille de sous-ensembles par : Cette famille V(W((s,r),(t,u))) valide les quatre axiomes définissant une prétopologie sur l'ensemble des éléments de texture. V(W((s,r),(t,u))) est donc un système de prévoisinages de W((s,r),(t,u)) et donne à l'ensemble W(s,t) une structure d'espace prétopologique (W(s,t),P). Cet ensemble W(s,t) étant l'ensemble des éléments de texture par interférences relationnelles, (W(s,t),P) est un espace de texture prétopologique.
Descripteurs de texture prétopologique Dans un espace de texture prétopologique, qui est un espace prétopologique, il est possible de définir le même type d'ensembles particuliers que pour les espaces topologiques. Soit A un sous-ensemble de X. Le nombre d'éléments de A est son cardinal. L'ensemble X représente un ensemble W(s,t) d'éléments de texture. Donc x est un élément W((s,r),(t,u)) et y un élément W((s,v),(t,w)). Le sous-ensemble A de X représente un des sous-ensembles Ai de W(s,t). Dans les exemples, les sous-ensembles Ai sont définis par la relation transitive du fait de ses propriétés (mesure absolue, perception globale à fonction intégrante). Un élément x de X est dit adhérent selon P à A inclus dans X, si il existe un sous ensemble W appartenant à V(x) tel que son intersection avec A soit non vide. L'ensemble des éléments adhérents à A selon P s'appelle Adhérence de A selon P, notée : Le nombre d'éléments de Adh(A) est le cardinal d'Adhérence. Un élément x de X est dit intérieur selon P à A inclus dans X, si il existe un sous ensemble W appartenant à V(x) qui soit inclus dans A. L'ensemble des éléments intérieurs à A selon P s'appelle Intérieur de A selon P, notée : Le nombre d'éléments de Int(A) est le cardinal d'Intérieur. D'autres ensembles particuliers marquent leur différence : l'extérieure Ext(A) de A est l'intérieur du complément de A par rapport à X ; la frontière F(A) de A, éléments de l'adhérence de A n'appartenant pas à son intérieur se décompose en deux semi-frontières, intérieure SFI(A) et extérieure SFE(A), suivant que les éléments respectifs appartiennent à A ou au complément de A par rapport à X. Mais trois ensembles particuliers, pour chaque sous-ensemble A, suffisent à décrire la texture de l'ensemble, les autres étant déductibles. Nous retrouvons les mêmes définitions que les ensembles particuliers topologiques, mais avec une différence fondamentale liée à la prétopologie :
Ces trois familles de cardinaux constituent les descripteurs élémentaires de la texture. Pour obtenir des descripteurs relatifs de la texture, il est possible d'établir des rapports pour chaque sous-ensembles particulier dont celui d'intérieur Ri(Ai) et d'adhérence Ra(Ai) en divisant respectivement les cardinaux d'intérieur et d'adhérence de chaque sous-ensemble Ai par leur cardinal respectif. La description de la texture relative a pour composantes deux rapports prétopologiques et le cardinal pour chaque sous-ensemble, les autres rapports étant déductibles.
Représentation de l'évolution de textures prétopologiques Il est possible de construire des ECHELLES DE TEXTURES où chaque analyse de texture représente un DEGRE DE TEXTURE. Les relations binaires non transitives s'y prêtent en raison du type de propriété qu'elles confèrent à un élément en fonction d'un autre. Une relation d'ordre peut classer simplement ces degrés de texture. Mais l'échelle de texture peut être un système complexe organisé (chemin de description, discours, texture). La représentation suivant un ordre des degrés de texture est l'EVOLUTION DE TEXTURES. Pour chaque espace de texture prétopologique, prenons le triplet des cardinaux (ensemble, intérieur, adhérence) pour tout sous-ensemble d'éléments de texture. Le cardinal du sous-ensemble caractérise son importance absolue en tant qu'objet. Le rapport de ce cardinal sur celui de l'ensemble total caractérise son importance relative en tant qu'objet dans son environnement. Le cardinal de l'intérieur du sous-ensemble caractérise son état d'isolement en tant que partie isolée de l'objet. Le rapport d'intérieur caractérise l'AGREGATION des éléments formant la partie isolée de l'objet par rapport à lui-même. Le cardinal d'adhérence caractérise son état relationnel en tant qu'objet étendu à tous les éléments de l'environnement et de lui-même qui sont en relation avec lui. Le rapport d'adhérence caractérise la DISPERSION de son environnement par rapport à lui-même. Figure
1
On remarque que l'espace de Topologie transitive ne représente qu'un point (RInt=1, RAdh=1) de l'espace des prétopologies non-transitives. La Topologie transitive est donc un cas limite de la prétopologie non-transitive.
S'il est possible de compter le
cardianl des
ensembles particuliers où d'en connaître leurs rapports, il est aussi
intéressant d'effectuer des calculs plus complexes pour mesurer et
mesurer d'autres paramètres. La
représentation
dans l'espace des nombres complexes décrit totalement la texture
en montrant les relations entre les sous-ensembles particuliers
prétopologiques d'intérieur (Int), de semi-frontière intérieure
(Sfi) et de semi-frontière extérieure (Sfe), d'adhérence (Adh),
d'extérieure (Ext),
les sous-ensembles (Ai) et l'ensemble (X) englobant amis
pouvant être lui-même que l'intérieur d'un sous-ensemble particulier
parmi d'autres, d'un ensemble qui le contient. La texture prétopologique est définie par 6n+1 vecteurs complexes pour n sous-ensembles de l'ensemble X tels que : Les vecteurs T2, T4, T6 ont la même propriété que T0 d'être des vecteurs réels. Et par conséquent, il est possible de considérer les sous-ensembles particuliers prétopologiques A, Adh(A) et X, comme l'intérieur de sous-ensembles participant à une texture dans d'autres ensembles organisés. Si la semi-frontière extérieure est plus petite que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement concave (en boule ou renflements) dans son environnement. Si la semi-frontière extérieure est plus grande que la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement convexe (en creux) dans son environnement. Si la semi-frontière extérieure est sensiblement égale à la semi-frontière intérieure, le sous-ensemble A est généralement très filaire long et épais ou très carré dans son environnement. Les mesures de l'agrégation et de la dispersion sont proportionnelles respectivement au carré des modules des vecteurs T0 et T3 ou T4. Il existe d'autres propriétés remarquables à noter : - quand les phases P1, P3 et P5 ont même valeur. - quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure. - quand l'extérieure est égale à la semi-frontière extérieure et la semi-frontière intérieure. Quand les vecteurs complexes T1, T3 et T5 ont une phase non nulle, il exprime un facteur de pondération sur leur module pour en diminuer leur importance (histogramme des cardinaux des sous-ensembles). Ainsi, si l'histogramme joue un rôle important dans la description topologique d'un ensemble, et de sa texture (histogramme local), on remarquera que la texture prétopologique pondère celui-ci en fonction de l'environnement des sous-ensembles et des propriétés qui les organisent en texture de l'ensemble. Figure 2 Représentation de la texture prétopologique dans l'ensemble des nombres complexes. En divisant les racines carrées par la racine du cardinal des sous-ensembles, on obtient l'équivalent d' amplitudes de probabilité de distribution qui définissent des « fonctions d'onde » particulières fondant la Théorie des Texturologies Quantiques Prétopologiques.
Pour des ensembles finis plus petits, le triplet pythagoricien nous donne les positions texturologies quantiques. Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls (x; y; z) vérifiant la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2.
Analyse, traitement, simulation et synthèse prétopologiques Pour un système X composé de n sous-systèmes, le nombre total de paramètres de texture devient important. Les méthodes classiques de classification sont alors compliquées, prennent beaucoup de mémoire et de temps calcul. Le concept d'image multiparamétrique, stockée en mémoire image des ordinateurs, est introduit pour définir une représentation visuelle de la banque de données facilitant une méthode de classification multiparamétrique et multihiérarchique et une description automatique ou très interactive. La classification initiale est prétopologique, mais selon les propriétés du système ou les objectifs de l'observateur, une ou plusieurs topologies peuvent être mis en évidence (Saint-Jean 86, 87, 89). Quand la texture systémique n'est pas homogène, l'étude de la répartition des sous-systèmes à isotexture est nécessaire. La classification multihiérarchique fournit des groupes d'isotexture. La visualisation de la répartition montre une texture des sous-systèmes à isotexture qui peut être analysée par les mêmes méthodes. L'observation d'un système et son fonctionnement peuvent être considérés comme en psychophysiologique de la vision (Molnar 85) : le mouvement des yeux (ou des informations) est guidé par la perception de la texture (ou la texture elle-même). Il existe des états (ou zones) entre lesquels l'oeil (l'information) effectue des saccades (mouvements) avec une probabilité de transition calculable et identifiable à un processus markovien : A * Pi = Pi+1. Le processus markovien classique, partant d'un vecteur quelconque initial (observation locale), convergent vers un vecteur d'équilibre représentant le pourcentage des classes de l'histogramme (observation globale). Les transitoires caractérisent le système dans le cas d'un processus linéaire. Mais le vecteur d'équilibre n'apporte pas plus d'information que l'histogramme. Par contre, dans des processus prétopologiques markoviens, où les sous-systèmes sont les intérieurs, les semi-frontières intérieures et extérieures, les vecteurs de transition montrent des non linéarités et le vecteur de convergence est différent de l'histogramme. L'interprétation est spécifique à chaque sous-système considéré. Trois types de simulation sont réalisés : - processus entre intérieurs et semi-frontières intérieurs : pour passer de l'intérieur d'un système à celui d'un autre, il est nécessaire de passer par la semi-frontière intérieure, du premier, en relation avec les semi-frontières intérieures des autres. Ainsi, chaque sous-système est considéré, non pas comme topologiquement uniforme où chaque élément a des échanges symétriques avec les autres éléments lui appartenant ou pas, mais comme une structure plus complexe où les relations ne sont pas nécessairement symétriques, les intérieurs et semi-frontières intérieures de chaque ensemble pouvant variés suivant le degré prétopologique. - processus entre semi-frontières intérieures et extérieures : les échanges concernent les propriétés ou les actions en bordure intérieure des sous-systèmes (relation de type membranaire). - processus entre intérieurs, semi-frontières intérieures et extérieures : les échanges s'effectuent entre l'intérieur et la semi-frontière intérieure de chaque ensemble puis par l'intermédiaire des semi-frontières intérieures en relation. L'agrégation et la dispersion interviennent simultanément. Les processus prétopologiques markoviens sont donc importants pour la simulation de l'observation et du fonctionnement des systèmes. Le traitement (organisation active structuro-fonctionnelle) réalisé avant l'analyse est appelé prétraitement. Mais dans les processus bouclés, le traitement peut être à la fois l'action suivant une analyse et précédant une autre analyse. La synthèse peut être le résultat d'une pure construction, mais également celui de traitements successifs et variés à partir d'un système initial (restructuration, réorganisations successives). Plusieurs types de traitements de texture prétopologique sont réalisables : - changement de texture locale suivant l'image multi- paramétrique des descripteurs absolus (filtrage prétopologique), - transformation de textures prétopologiques par influence locale (érosion et la dilatation prétopologiques); - l'équilibrage des textures par mise en jeu de règles soit antagonistes (lois du plus fort, du plus faible, des plus forts, des plus faibles) à stratégie unique (un seul contre tous) et multiple (les uns contre les autres), soit coopératrices. Le traitement est plus rapide et plus efficace que celui effectué par les filtres numériques de type Laplacien ou convolution. Des résultats satisfaisants ont été obtenus en biologie cellulaire, à partir de la texture prétopologique des images numérisées. D'autres paramètres que ceux mesurant la texture prétopologique peuvent être également pris en compte dans les méthodes. Mais le modèle est suffisamment général pour être employées dans tout autre domaine de la systémique (Bode 49, Bertalanfy 73). Moteur sémantique du PolyAgogic CyberSpace pour l'aide à la décision et la structuration dynamique des espaces interactifs de connaissances, par les texturologies quantiques dans les espaces de textures prétopologiques, et le Design du concept multimédia Partant des constatations suivantes : - La tekhnè ou technè, du grec τέχνη, désigne le savoir-faire des métiers de l’artisanat ou de l’art, l’action efficace, chez les Grecs de l’Antiquité. Elle s’oppose chez Aristote à la praxis, qui est la sphère de l’action proprement dite. La praxis (nf, d'origine grecque), signifiant action sous-tendue par une idée vers un résultat pratique, désigne l'ensemble des activités humaines susceptibles de transformer les rapports sociaux et/ou de modifier le milieu naturel. - On oppose traditionnellement la pratique à la théorie. Mais la pratique recèle un savoir spécifique, savoir d'action ou savoir en action qui se distingue de la théorie censée la fonder ou en rendre compte et qui tient plus du savoir sur l'action. - Si le scientifique fait modèle de la Nature, l'artiste prend la Nature pour modèle. - Refusant toutes ces oppositions qui n'ont plus de sens dans un espace interactif de connaissance et de création numérique, le Digital Design ou Design Numérique et Design du concept multimédia, dans ses démarches et méthodes, mettent en rétroaction systémique, l'artiste prenant modèle de la Nature, et le scientifique faisant modèle de la Nature, ainsi que la technè et la praxis, la théorie et la pratique. - La topologie fournie des méthodes axées sur la transitivité des relations (classe d'équivalence et ordre) permettant des hiérarchisations et une optimisation réductioniste et rationaliste. - La prétopologie « classique » fournit des méthodes axées sur la transitivité et gère mieux les frontières topologiques en caractérisant les intérieurs et les adhérences par des préfiltres permettant la non-idempotence adh(adh(A) ≠ de adh(A), et ainsi une optimisation réductioniste et rationaliste de systèmes complexes plus fine mais se cantonnant à des classes d'équivalence et d'ordre (hierarchies). - La texture prétopologique fournit des méthodes axées sur la non transitivité (mais pas nécessairement l'intransitivité ni l'anti-transitivité) permettant la mise en réseau dynamique, en texture assurant une multihiérachie, et en texturologie permettant une optimisation relationnelle non pas réductionniste mais mettant en relation des systèmes complexes irréductibles. - La
topologie augmentée par la texture prétopologique permet
le passage entre espaces topologiques en fonction de la complexité
et de l'irréductibilité et le degré d'acceptation de la perte
d'information.
Notons que si le terme prétopologie a tout son sens comme étant
pré-topologique dans le repère des espaces emboités T0 (espace
prétopologique), T1, T2, T3, T4, T5 (espace métrique), il serait
intéressant de voir si cette « hypertopologie » ne
s'applique pas à tous les espaces Ti.
Les espaces Ti
n'étant pas que "emboîtés", l'ensemble des espaces
constituent une texture d'espaces de topologie augmentée. où c.t représente une quantité, le cardinal de l'intérieur d'un sous-ensemble, et ( i.x, j.y, k.z ) les sous-ensembles de semi-membrane intérieure, semi-membrane extérieure et d'extérieure. Dans le cadre de la théorie généralisée des texturologies quantiques prétopologiques, l'espace-temps relativiste est alors transformé en une texture de quanta espace-temps formant des réseaux de réseaux d'éléments informationnels. Le
quaternion de Minkowsky pourrait être également un quaternion
hyperbolique, ne respectant pas l'associativité, mais formant un quasigroupe -
ensemble muni d'un loi de composition interne (un magma) pour
laquelle (loi comme une multiplication), il est possible de diviser,
à droite comme à gauche, le quotient à droite et le quotient à
gauche étant uniques -. Ce quasigroupe fini est un carré
latin.
{(√intm,n, i√smim,n, j√smem,n, k√extm,n,√intl,n+1)n,l,m} le tout normalisé à chaque niveau pour faire apparaître les fonctions d'onde texturologiques.
Si
l'on considère les niveaux d'ensemble comme des dimensions, il est
alors possible de définir une dimension supérieure à toute texture
de sous-ensemble. Au concept d'espace-temps (énergie de spin, énergie cinétique, énergie de rayonnement d'un univers à l'âge des ténèbres) s'adjoint ainsi un espace concept-relation (local-total-global où le concept est en fait le percept-concept-affect) ou ensemble-relation qu'il faut piloter paramétriquement afin de naviguer ou de survoler l'information conceptuel (zones structurées prétopologiquement) dans les espaces de connaissance interactifs, visualisables en immersion dans leur structures, leurs contenus et leurs déroulements explicatifs ou spectaculaires. Le concept de local-total-global prend donc toute sa signification. La texturologie locale des intérieurs des sous-ensembles est du type "rotation" (quaternion gauche de chaque sous-ensemble), une "énergie informationnelle de spin", plus complexe qu'en physique, donnant le sens contextuel et contexturel pragmatique. La texturologie totale est membranaire les liens assurant une "énergie cinétique" structurant ("colision" des concepts fondamentaux et pragmatique). La texturologie globale des intérieurs des ensembles distribués en sous-ensembles est du type énergie informationnelle rayonnante (émission de concepts fondamentaux) donnant le sens textuel et texturel polysémique d'un dictionnaire. Ainsi les "textons" (lemmes du lexique, phrase dans un paragraphe, paragraphe dans une page, page web dans un site ou ensemble de sites) se regroupent en "texturons" dans l'espace concept-relation. Ainsi,
encore avec un peu d'humour : un siècle après
Albert Einstein et sa Théorie de la relativité,
Patrick Saint-Jean annonça sa Théorie des Texturologies Quantiques
Prétopologiques, à l'ESIEA en 2004 ( http://patrick.saintjean.free.fr/PACS/Bibliographie/TQ2004/TQ.html
), lieu de naissance de ces travaux sur les topologies et prétopologies
(1971), après sa conception de la Trans-combinatoire en 1967. en Texture et texturologie prétopologique et en Texturologie quantique Initiées en 1967 avec les trans-combinaisons, les recherches de l'auteur vont de paire avec la découverte des Musiques Formelles de Iannis Xenakis et de la Cybernétique de Nicolas Schöffer. Dans un travail d'analyse des structures topologies par la théorie des catégories, l'auteur constate en 1971 l'existence de concept d'espaces pseudo, quasi et prétopologique, et développe dès 1973 ses propre modèles mathématiques (processus markoviens prétopologiques pour la simulation des réseaux à destruction partiel) et de textures prétopologiques en 1974 pour satisfaire des besoins de traitement du signal (musiques stochastiques, CNET-CEMAMU 1974-78) et d'imagerie bio-médical en microscopie quantitative (texture chromatiniène, analyse chromosomique, analyse cytologique, leucémie, CEA Département de Protection Nucléaire, docteur LE-GO, 1974-79). Puis début des années 80, à l’Université Paris XIII, il continuera ses recherches et développements en imagerie numérique et en microscopie quantitative pour la culture cellulaire de gliales transformées (souche) et la Robotique de Laboratoire où il intègre son modèle mathématique et sa méthode d'analyse de texture prétopologique et de classification multiparamétrique multihiérarchique prétopologique, qui verra un aboutissement aux Sylvius Laboratories du Professeur Ploem à Leiden en Hollande. 1981 : http://patrick.saintjean.free.fr/phpwebgallery/picture.php?/1463/category/159 1985 : http://patrick.saintjean.free.fr/phpwebgallery/index.php?/category/167 Culture cellulaire et Robotique de Laboratoire intégrant le modèle mathématique et la méthode d'analyse de texture prétopologique dès 81. Le protocole clinique ou d'expérimentation interactif défini sur l'Apple II permet de piloter le robot, le microscope, un pdpd 11 DEC pour le traitement de morphologie mathématique prétopologique et l'analyse de texture prétopologique, relié à un Texture Analyser Système (T.A.S. de Leitz) pour l'acquisition d'image et les traitement de morphologie mathématique topologique.
Enfin en contact avec le berceau de la Prétopologie de Lyon, il finalisera sa thèse de docteur ès-science en Biologie du Développement (1989) à Paris XIII http://patrick.saintjean.free.fr/phpwebgallery/picture.php?/1020/category/154 et entrera à l'Ecole Normale Supérieure de Cachan où il conçoit la première version du PolyAgogic CyberSpace (MTiPSi, 1992). et "finalisera" en 1989 sa théorie généralisée sur les texturologies quantiques prétopologiques pour "La systémique de l'organisation dans les espaces de texture prétopologique" http://patrick.saintjean.free.fr/PACS/Bibliographie/SysOrg89.html En 1996 un journaliste (Pascal Teracol) de Pixel magazine (N°29) annoncera et montrera des travaux de Bio-Art de Patrick Saint-Jean, notamment réalisés à partir de la conception, la modélisation et la programmation de fractales et Julia Set du troisième ordre issu de son modèle mathématique de textures prétopologiques. Plusieurs
versions du
PolyAgogic CyberSpace voient le jour avec l'arrivée de l'Internet et
le développement des texturologies quantiques en intelligence
artificielle.
http://patrick.saintjean.free.fr/PACS/Bibliographie/UPICauPACS/UPICauPACS.html Moteur d'inteligence artificielle et de texturologie prétopologique : http://ru3.com/luc/tag/people/patrick-saint-jean-cybernetique-intelligence-artificielle.html Les 7-ième Journées Prétopologic 2010 on permis de faire un tour d'horizon sur "La prétopologie dans les texturologies quantiques et la topologie augmentée", (http://patrick.saintjean.free.fr/PretopologieTQTAPSJ.html ) Vers une nouvelle version HPC du moteur sémantique du PolyAgogic CyberSpace Reprenant les concepts des anciennes versions : Design du concept et mesure de textures prétopologiques dans le plan complexe. Mesures de texturologique quantique prétopologique qui permettent de définir les fonctions d'onde. Classification multi-hiérarchique multi-paramétriqueà partir de mesures de texture prétopologique (256). Si le nombre d'images résultantes de la classification est 2 et est inversible, la classification est unique et topologique. Si le nombre d'images résultantes de la classification est supérieur à 2, la classification est multihierarchique et prétopologique, et engendre un graphe. Graphe 3D et moteur d'intelligence artificielle pour détecter des chemins optimum (en blanc) servant de piste agogique pour la partition multi-piste. Moteur d'inférence dans les tableurs conceptuels multimédia et classification multi-hierarchique dans le Conceptier 3D. Partition conceptuelle multimédia multi-piste pour trois écrans. Graphe dynamique 3D interactif et partition multipiste. Présentation au Ministère de la Recherche rue Descartes pour les 50 ans de l'Intelligence artificielle en 2006 http://ru3.com/luc/tag/people/patrick-saint-jean-cybernetique-intelligence-artificielle.html FractoCell 2D, fractale prétopologique 3-ième degré, © Patrick Saint-Jean, 1994. FractoCell Rendu Ray-Tracing sur PoVRay, © Patrick Saint-Jean, 2007. FractoCell 3D-Quaternion Unitaire et Texturologie Quantique, © Patrick Saint-Jean, 2010. Simulation temps réel en
OpenGL
de l'information relationnelle d'un quanta texturologique.
Ainsi numérisée, captée, analysée, structurée, abstraite, et virtualisée en temps réel à partir de la toile numérique, la connaissance remplit l'espace (knowledge mater). Puis visualisée sur plusieurs écrans, synthétisée, architecturée, texturée, elle est sculptée soit systémiquement par les texturologies quantiques et des moteurs d'intelligence, de conscience et de vie artificielles, soit interactivement dans une humanologie participative (intelligence collective à base d'intelligence personnelle, collaborative et coopérative), où les intervenants actifs et passifs créent ou inhibent les liens du réseau dynamique pondéré, travaillant ainsi la forme signifiante par effet de pleins et de vides colorés et ombragés. Scénarisée dans une mise en partition multi-piste, la sculpture, comme nouvelle écriture, se forme dans sa micro (quanta informationnel), mezzo (liens intimes entre percepts-concepts-affects matérialisés dans l'espace par des diodes laser montrant le polytope des points de vue) et macro composition (process temps réel) sculptant ainsi dynamiquement la matière de la connaissance et de l'ignorance. Une nouvelle version HPC est élaborée par transformation du logiciel NBody d'Apple, pour visualiser des éléments du web (images jpg) à la place des étoiles, et intégrer les algorithmes de traitements, d'analyse et de classification multihiérarchique prétopologiques. http://developer.apple.com/library/mac/#samplecode/opencl_nbody_simulation_example/Introduction/Intro.html http://www.usm.uni-muenchen.de/people/puls/lessons/numpraktnew/nbody/nbody_manual.pdf http://www.cs.cmu.edu/~scandal/alg/nbody.html http://en.wikipedia.org/wiki/N-body_simulation La réalisation HPC (high parallel computing) sur Mac Pro 12 cores et 2 cartes graphics Nvidia, 512 processeurs, permet la construction, la visualisation, le suivi, le contrôle, la manipulation interactive et la structuration automatique par moteur de texturologies quantiques prétopologiques, d'un graphe sémantique dynamique multimédia, temps réel de plus de 32000 concepts, à près de 140 Gigaflops/s et peut être étendu sur les Networks de type Cloud avec HPC. Visualisation d'une base de données multimédia en grand nombre (8192). Autostructuration de l'espace des concepts. La Réunion dans la texture des différences. Dans cette auto structuration de l'espace, d'après NBody Thorsten Naab (diffusé par Apple), nous sommes dans le cadre de l'attraction liée à la gravité due aux masses et à la distance qui les sépare. Le softening-parameter e simule la dispersion (développement de l'adhérence) Le damping-parameter a simule l'agrégation par atténuation (développement de l'intérieur). Mais ici se sont les forces physiques qui engendrent la texture prétopologique des masses différentes. Il nous faudra le traduire
en
langage mathématique prétopologique pour mieux en
appréhender les propriétés sémantiques.
Les pages web sont alors caractérisées par une collection d'éléments ayant une "masse" mi soumis à une "gravité" G qui génère une "force de gravitation" élémentaire proportionnelle à la distance extérieure entre éléments et inversement proportionnelle au cube d'une pré-distance extérieure liée au paramètre de ramollissement et dont le cardinal est la mesure de la "force d'attraction" globale de chaque élément. Chaque "masse" est proportionnelle à une "masse propre" mais dépend d'un paramètre d'étendue, de distance intérieure, le "rayon" r dont elle est proportionnelle du carré et inversement proportionnelle au carré d'une pré-distance intérieure lié au paramètre d'atténuation favorisant l'agrégation. L'ensemble des couples (atténuation, ramollissement) définit une famille de prévoisinages caractérisant l'espace prétopologique.
Espace de mesure et Classification Multiparamétrique Multihiéarchique A partir de signatures prétopologiques, le système dynamique s'auto-structure
Cette réalisation est un hommage à Edouard Glissant, décédé en février 2011, Philosophe et poète de la Relation et de la Différence. Mais également, en réflexion de la définition logico-mathématique de l'auteur, c'est aussi en hommage premier dès 1982 à Jean Dubuffet (1901-85) qui, associant à ses peintures les projections à d'autres moyens pour obtenir des nappes finement ouvragées donnant "une impression de matière fourmillante, vivante et scintillante, évoquant toutes espèces de textures indéterminées voire des galaxies ou des nébuleuses", auxquelles il donna le nom de Texturologies pour les différencier des Topographies, et se muer en Empreintes résillées dont l'idée tient à ceci que "les points qui semblaient autant de piqûres, se mettent à remuer, à filer, à faire voir en dessous d'eux-mêmes tout un réseau". Tout comme Iannis Xenakis dans ses Musiques formelles, Jean Dubuffet s'interroge sur ses textures continues et informes, qui investissent uniment la surface comme un gaz occupe un volume évoquant un phénomène physique d'entropie, liée à la perception relative de l'observateur d'un équilibre du désordre et de l'ordre. Et il en est de même quand, dans ses expériences musicales où il ressent "qu'il y entre en jeu mille choses subtiles, toutes liées entre elles il est vrai et difficiles à isoler, où participent le quantum de lustrage et les variations de textures", par rapport au quanta sonore de Xenakis comme un signal élémentaire de Gabor, et qui confirme ou converge avec les travaux de l'auteur sur la justification d'un modèle de texturologies quantiques prétopologiques, dans sa recherche de nouvelles écritures en contexte et contexture, depuis les années 60, où en Design le "kit-it yourself" (montez le vous-même) remplace le "do-it yourself" (faites le vous-même) et par contre coup provoquera la volonté d'un "live-it yourself" (vivez-le vous-même). Edgard Morin, penseur de la complexité qu'il constate dans l'Esprit du temps (Névrose des années 60, puis Nécrose des années 70) définit sa méthode de connaissance pour traduire la complexité du réel et reconnaître l'existence des êtres et approcher le mystère des choses (La Nature de la Nature, La Vie de la Vie, La Connaissance de la Connaissance, L'Humanité de l'Humanité), qui le fera défier les classements disciplinaires pour tenter une réforme de la pensée. Dans le sens d'Edgard Morin, Michel De Certeau, Voyeurs ou marcheurs, dans L'invention du quotidien, qui se questionne, en citant Manhattan vu du 110e étage du World Trade Center, sur « L'immense texturologie qu'on a sous les yeux est-elle autre chose qu'une représentation, un artefact optique ? C'est l'analogue du fac-similé que produisent, par une projection qui est une sorte de mise à distance, l'aménageur de l'espace, l'urbaniste ou le cartographe. La ville-panorama est un simulacre « théorique » (c'est-à-dire visuel), en somme un tableau, qui a pour condition de possibilité un oubli et une méconnaissance des pratiques. Le dieu voyeur que crée cette fiction et qui doit s'excepter de l'obscur entrelacs des conduites journalières et s'en faire l'étranger. » et mettant ainsi en dialectique la texturologie qui lui serait topologique (relatif aux déformations de figures) et non topique (définisseur de lieu) selon donc une texturologie prétopologique de proximités successives liées à la texture dans son mouvement, en instaurant une diégèse, une narration, marche du guide qui passe à travers par transgression, regroupées par l'auteur comme une topologie augmentée dans une paradiégèse. "Là où la carte découpe, le récit traverse", mais où les narrateurs sont multiples, et où faire surfer sur le net (buzzer en créant la vague) devient une façon de "slamer" sur le net à plusieurs. Pretopological Texture Marqued Language et Pretopological Quantics Texturology Marqued Language Pour ce faire les pages web incluent un PTML (Pretopological Texture Marqued Language) ou métalangage comme l'IEML de Pierre Levy, qui ne soit pas Topologique mais Prétopologique et Texturologique, pour assurer l’interopérabilité sémantique, dans un contexte de mondialisation du mental (pas seulement la mémoire mais le percept-concept-affect du Mental Design, et pas seulement l'esprit mais le mental de la Society of the Mind où l'âme des peuples à encore quelque chose à dire et à vivre), et ainsi l'effort de gestion de la connaissance pour sa polyagogie, sa création et son spectacle (oeuvre, cours, conférences) dans des espaces d'immersion interactif. Vers une Théorie des Précatégories L'exercice est de passer de la
combinatoire à
la transcombinatoire en tenant compte que la structure sera formée d'un
ensemble transcombiné à une ou plusieurs lois de compositions dont
l'une au moins est non-transitive. A partir des Structures algébriques élémentaires Une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d'être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes. Structures à opérateurs internes Partant d'un magma (ou monade ou groupoïde de Ore1) qui est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne, le couple noté . On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application du produit cartésien E × E dans E. Dans un magma ( E, ), on appelle « composé d'un élément x par un élément y », l'unique élément x y associé par la loi au couple ( x, y ). L'élément y x est le composé de y par x. Il est associé par la loi au couple ( y, x ), réciproque du couple ( x, y ); c'est pourquoi il est aussi appelé composé réciproque de x par y ou de x y. Un élément est dit idempotent ou projecteur ssi : Soit E un ensemble à n éléments. Le nombre de lois internes sur E est le nombre d'applications de E×E dans E, soit On peut compter de même combien, parmi elles, sont commutatives. Une loi commutative sur E est entièrement déterminée par sa valeur x✲y=y✲x pour les paires {x,y} et sa valeur x✲x pour les singletons {x}. Le nombre de ces paires et singletons étant il y a donc lois commutatives sur E. Le Monoïde est un magma associatif et unifère. Donc un magma fermé. Structures à opérateurs externes Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne. Géométriquement, c’est un ensemble E sur lequel agit un ensemble-opérateur S, encore appelé ensemble des opérateurs ou scalaires. Pour cela, l'ensemble E est muni d’une action, c’est-à-dire d’une application de S dans EE (ensemble des transformations de E, c'est-à-dire des applications de E dans E). La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action. Moduloïdes : Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe. Le magma est alors ouvert. Nous pouvons donc créer de nouvelles structures élémentaires : Structures à opérateurs hétérogènes : les Morphoïdes différents des morphismes d'opérateurs homogènes. Structures à opérateurs homogènes et hétérogènes : les Androïdes à homomorphismes et hétéromorphismes formant des textures et texturologies prétopologiques. Remarques : 1 - Plus le temps passe (45 ans), plus les publications évoluent, se précisent et se confirment, plus les différences s'accroissent entre les travaux d'une part de la topologie de Bourbaki et de la prétopologie de Brissaud, et ceux d'autre part des textures prétopologiques et texturologies quantiques prétopologiques de Patrick Saint-Jean qui s'affirment ; et poussent ce dernier à croire qu'il est un non-mathématicien comme de nombreux esthéticiens sont non-esthéticiens et nombreux philosophes sont non-philosophes et qui, s'interrogeant sur la nature profonde de l'Etre dans un processus rétro-actif de Design, prennent la "Nature" pour modèle en tant qu'artiste, pour en faire des modèles de la Nature en tant que scientifique (bouclage temps réel de l'analyse et la synthèse dans un même processus mental). Heureusement l'écriture mathématique professorale actuelle rejoint l'écriture mathématique processorale (informatique), encore virtuelle mais qui arrive maintenant par l'informatique appliquée aux mathématiques (Mathematica de Wolfram et autres), et permettent de rendre compte d'une telle évolution dans l'union des différences subtiles. En fait le modèle reste dans le langage mathématique et l'analyse passe par le qualitatif et le quantitatif, donc "l'observation et la mesure sensible" où l'observé et l'observant se côtoient en toute dépendance et où la continuité se traduit par des proximités successives engageant un "axiome de choix structuro-fonctionnel-systémique" à chaque étape. Dans quelle structure l'élément se trouve-t-il dans son action ? Dans quelle structure l'élément se trouvera-t-il après son action ? Quelle situation, quelle condition stimule l'action ? Tout semble reposer sur la propriété la plus simple : où si les Xi sont des classes d'équivalences en situation de proximité (regroupement des composantes principales dans une structure élémentaire (texton, texturon, texel), ils forment un complexe ayant une texture hétérogène de quantité mais pas de nature (texture topologique), alors que si les Xi sont des parties à propriétés relationnelles non-transitives entre éléments de natures différentes, ils forment un complexe ayant une texture hétérogène de nature (texture prétopologique). L'introduction des texturologies quantiques prétopologiques relationnelles nous place dans un monde de systèmes de quinternions complexes (RC3R)n pour structurer un monde relationnel en osmose au monde relativiste physique. 2 - Mais ces différences se caractérisent par le besoin de relacher une propriété qui semble essentielle (pour ne pas dire culturelle) en Théorie des Catégories tout comme en Topologie, voire en Prétopologie au sens de Brissaud et des prétopologistes lyonnais, qui est la "transitivité" des relations permettant et assurant la classe d'équivalence et l'ordre total par la relation transitive d'équivalence et d'ordre (anti-symétrie). En effet comment rompre avec une culture ancestrale où "le voisin de mon voisin est mon voisin", où "l'ami de mon ami est mon ami", ... enfin presque par pure idéologie ou besoin de faire confiance au risque de toutes les trahisons, et qui rappelle la Royauté de Droit Divin fait d'ordre et de classe et dont la transcendance de haut en bas est absolue. C'est sans doute dû à la théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, qui est une théorie axiomatique essentiellement équivalente à la théorie ZFC de Zermelo–Fraenkel avec axiome du choix (et avec les mêmes variantes possibles), "mais dont le pouvoir expressif est plus riche". En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui-même appartenir à un autre ensemble. Ce n'est pas forcément le cas d'une classe, qui est une collection d'objets que l'on peut définir, dont on peut donc parler, mais qui ne forme pas nécessairement un ensemble. Quand une classe n'est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors être élément d'une classe (ni, a fortiori, d'un ensemble). En théorie des ensembles, ces collections d’objets, qui sont définies par une propriété de leurs éléments, mais qui ne sont pas forcément des ensembles au sens de la théorie, sont appelées classes. Les classes qui ne sont pas des ensembles sont appelées classes propres. On peut voir celles-ci comme des collections que l’on peut décrire dans la théorie, mais qui sont trop « grosses » pour être des ensembles. Mais
les classes
peuvent-elle être hétérogène ? Et les morphismes des
hétéromorphismes ? Peut on parler également de topologie trans-combinatoire comme on parlait de topologie combinatoire (ancien nom de la topologie algèbrique) ? 3 - Si la définition de la Topologie a progressé avec l'annonce des quasi, pseudo, pré-topologies dès les années 60 et 70, la normalisation converge vers le besoin et l'exigence de transitivité, et les notions de préfaisceaux, prébase, préfiltre, prévoisinage, de quasi-compact, relativement compact, localement compact, sigma-compact (axiomes de recouvrement) montrent la complexité inhérente et paradoxale tout en relachant les machoires de certains étaux d'une "inquisition" culturelle. Ainsi la Topologie parait à la fois "une vision globale" de grande valeur, mais aussi une sorte de "bondieuserie" mathématique globalitaire où tout est parfait et totalement défini, fait de classes et d'ordre, à mettre d'une part en opposition aux "bourdieuseries" de la philosophie de l'action stratégique de l'habitus et de la violence symbolique de Pierre Bourdieu pour se détourner de l'habitus, et d'autre part à l'encontre de la pratique de la réalité concret-abstrait-virtuel exprimée par les idées sur la nature et la pensée complexe qui nécessitent de nouvelles écritures et d'une vision locale non isolée dans la globalité (1968, droit à la différence, à l'irréductibilité, à l'imaginaire, à l'indépendance et l'autodétermination ainsi qu'à l'autogestion d'une "société démocratique sans domination des ordres et des classes" ), fondées sur les interférences du local-global qui engendre la diversité de l'art total (Nicolas Schöffer) dans son expansion entropique du local-total-global autonome. Mais
un pas reste à
faire ; pas en avant ?, pas en arrière ? peut importe, peut-être une
chorégraphie dans la continuité
culturelle et la proximité successive, à côté dans l'union des mondes
parallèles ensembles dont
le voisin n'est pas forcément mon voisin (et constater que l'ami de mon
ami n'est
pas forcément mon ami) où le droit à la différence et à l'union
des différences sont possibles. Les Précatégories non-transitives A partir du moment où l'on accepte le foncteur oubli concernant la règle de transitivité absolue pour n'accorder à la structure qu'une possibilité d'être transitive ou intransitive, la possibilité d'être non-transitive répond à un plus grand nombre de cas. Les morphismes ne sont plus que homomorphiques mais peuvent être hétéromorphiques voire andromorphiques (à la fois homo et hétéroromorphique). Les catégories
deviennent des précatégories qui redeviennent des catégories quand les
hétéromorphismes n'exitent plus et que les andromorphismes sont devenus
homomorphiques. Là peut se jouer
la propriété des foncteurs d'être covariants ou contravariants ou
mixtes. Un foncteur (ou foncteur covariant) d'une catégorie dans une catégorie est la donnée
qui
Un foncteur contravariant G d'une catégorie dans une catégorie est un foncteur covariant de la catégorie opposée dans (à tout morphisme de il associe donc un morphisme de , et on a la « relation de compatibilité » ). On voit immédiatement que l'image d'un isomorphisme
par un foncteur est un isomorphisme. Un foncteur est appelé une équivalence de catégories (en) s'il existe un foncteur tel qu'il existe un isomorphisme naturel de foncteurs entre (resp. ) et l'identité sur (resp. ). Une équivalence de catégories est une notion plus générale que celle des isomorphismes de catégories. À partir d'une catégorie , on peut définir une autre catégorie (ou ), dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches. Plus précisément : , et la composition de deux flèches opposées est l'opposée de leur composition : Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : . Cette dualisation extrêmement simple permet de symétriser
la plupart des énoncés, ce qui peut être douloureux pour les
irréductibilités. Mais c'est un moyen dynamique de prendre conscience
et de se poser la question du possible, du faisable et d'évaluer
l'impact, afin de décider la réductibilité ou pas, gardant ainsi les
limites des frontières à ne pas franchir, des irrégularités texturelles
séparant les milieux et définissant les membranes. Une flèche est dite un monomorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple de flèches (et donc aussi pour tout ), si , alors . Une flèche est dite un épimorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple de flèches (et donc aussi pour tout ), si , alors . Les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales l'une de l'autre : une flèche est un monomorphisme si et seulement si elle est un épimorphisme dans la catégorie duale. Une flèche
est dite un isomorphisme s'il existe une flèche
telle que
et .
Cette notion est autoduale. L'exercice
est
donc de remplacer les opérateurs Hom par ceux d'Heter et Andro en
découvrant et vérifiant la cohérence de leurs propriétés : Une NT-Précatégorie (non-transitive précatégorie) est la donnée de quatre éléments :
On
demande aussi
que : si . Cela
revient à
agréger ou à disperser les éléments de nature différente sans perdre le
fait qu'ils sont liés entre eux et qu'ils forment une texture
prétopologique. Et
de les mettre
en jeu : Dans un jeu de Tic-Tac-Toe l'ensemble est une grille de 3 par 3 composée de O et de x. Dans un jeu de stratégie comme Risk, où les territoires se négocient entre amis et ennemis dans l'espace-temps.
Préfoncteur hétéromorphique Produit et Somme Topologiques Dans une catégorie, la somme peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Les préfoncteurs homomorphiques, hétéromorphiques ou andromorphiques sont donc représentables. Pullback (produit fibré, somme topologique) dual
du Pushout (somme amalgamée, quotient de l'union disjointe) - X et Y sont de même nature (homomorphisme) - X et Y sont de nature différente (hétémorphisme) - X et Y peuvent être de nature différente ou de même nature (andromorphisme) - Z est une texture homogène (homomorphisme, topologie identitaire), une texture hétérogène (hétéromorphisme, topologie dispersive), ou une texture androgène (andromorphisme, texture prétopologique). Diagramme d'une I-catégorie
La séquence X0 X1 … X7 X8 montre une spirale d'analyse qui part de tout point de l'image, de tout élément ou partie de la catégorie pour le mettre dans son environnement et son prévoisinage prétopologique non transitif (catégorie de texture prétopologique de PS-J ou catégorie de texturologie quantique prétopologique de PS-J). Puis un balayage régulier ou un chemin particulier ou ératique permet de scruter et analyser les collections ou partie en situation (in situ et in vivo).
Il est possible d'y voir une spirale deuleuzienne du Régime des signes.
Le rhizome est différent du modèle arborescent. Il n’est ni centré, ni polycentré. C’est, dit Deleuze, une anti-généalogie.
Le diagramme d’un régime de signes est centré sur le signifiant d’où partent une série de cercles concentriques dont les chemins suivent une spirale (voir fig. 46). Le centre de signifiance (1) est relié à l’infini par une singularité ponctuelle. Dans un voisinage de l’infini le signe renvoie au signe ou si l’on préfère «l’ensemble infini des signes renvoie à un signifiant majeur ». C’est dit Deleuze une découverte des prêtres psychanalystes que « l’interprétation doit être soumise à la signifiance, au point que le signifiant ne donnait aucun signifié sans que le signifié ne redonnât à son tour du signifiant. » Sans doute cette redondance du signifiant justifie-t-elle la forme du diagramme. Elle ne peut être pensée que par une substance particulière que Deleuze nomme la visagéité. Le signifiant est un visage dont les traits sont l’ultime signifié et produisent à leur tour du signifiant. Tous les signes ont un même lieu d’origine (2) : un temple, un village, une steppe, etc. et tous les signes sont tournés vers un même centre de signifiance. Le passage d’un signe à un autre se fait par le saut d’un centre à son voisin (3) selon des règles précises et certaines transitions sont interdites. Le centre doit sans cesse produire de la spirale parce que la transformation du signifiant en signifié produit elle-même du signifiant (4). Le diagramme deleuzien fonctionne comme les rotoreliefs de Duchamp. Le rite du bouc émissaire ponctue la spirale. Un premier bouc est sacrifié et la ligne de fuite s’immobilise en (5). Un second bouc est envoyé dans le désert (6) pour envoyer à l’infini l’excédant du signifiant. Ajouter à cela « le corps paranoïaque du dieu despote », les relations hiérarchiques du prince et de ses sujets, des éléments de politique, de psychanalyse, d’anthropologie, etc. et vous obtiendrez la complexité du diagramme deleuzien dans ses composantes multidimensionnelles.
Le diagramme est selon Deleuze une machine abstraite qui fonctionne directement dans une matière. « Elle opère par matière, et non par substance; par fonction et non par forme (...) La machine abstraite, c’est la pure Fonction-Matière — le diagramme, indépendamment des formes et des substances, des expressions et des contenus qu’il va répartir. »37. Une machine abstraite, c’est exactement une catégorie mathématique. Il suffit de remplacer matière par objets et fonction par morphismes pour identifier machine abstraite et catégorie. Deleuze ne parle pas de cette analogie, mais il tient la machine abstraite à distance des théories linguistiques et sémiotiques.
La machine abstraite n’a aucun moyen de distinguer un plan d’expression et un plan de contenu. Elle est totalement immergée dans le plan d’immanence qui va répartir les expressions et les contenus selon les strates et les territorialisations. Face à Peirce, le diagramme que constitue cette machine se distingue des indices qui sont des signes de territorialisation, des icônes qui sont des signes de reterritorialisation et des symboles qui sont des signes de déterritorialisation. Le diagramme n’est pas un outil de simple représentation, mais un objet dynamique qui fonctionne comme une machine à produire du réel ou de nouveaux objets. Peindre la connaissance, faire rhizome pour reconstituer l’image du monde, dans une dynamique incessante de déterritorialisation et de reterritorialisation entre les mondes, les sites et les topoï est une démarche et un caractère que Deleuze a entrepris dès ses premiers écrits et qu’il a ensuite amplifié pour interroger l’infinie complexité des mondes. Les plateaux sont des multiplicités qui s’interconnectent par des ramifications rhizomatiques, qui posent que l’écrit n’est plus un signifié, mais un arpentage et une cartographie. C’est l’objet de la philosophie que de construire des réseaux qui relient les idées et produisent les concepts. De là, l’importance des lieux synaptiques qui sont à la charnière des strates et des couches géologiques, des niveaux et des plans que composent le savoir et le monde. Les surfaces sont toujours entaillées de modifications de reliefs que le rhizome restitue. L’être n’est plus l’être en tant qu’être mais l’être en tant qu’être en un lieu. Le topos est le plan d’immanence sur lequel se développe la réflexion sur la philosophie des sciences. L’ontologie se mue en une onto-(po)-logie ou ontologie toposique.
Le rhizome est un diagramme, à la fois carte et machine qui se déploie dans tous les sens. Il possède des ramifications qui s’agrègent parfois en tubercules. Entre les renflements et les filaments, le flux circule dans le rhizome véhiculant l’information entre les différents points extrêmes comme les points de jonction ou synapses qui apparaissent comme autant de singularités où s’interconnectent des strates. Dans l’introduction à Mille Plateaux, les “caractères approximatifs” du rhizome sont énumérés sous la forme de six principes : 1. Le principe de connexion affirme que tout point du rhizome peut être connecté à un autre point quelconque et doit l’être : l’entropie est maximale dans le rhizome. 2. Le principe d’hétérogénéité garantie que le rhizome — contrairement à l’arbre — ne fixe pas un ordre, « chaque trait ne renvoie pas nécessairement à un trait linguistique. » 3. Le principe de multiplicité pose que toute multiplicité est rhizomatique. « Une multiplicité n’a ni sujet, ni objet, mais seulement des déterminations, des grandeurs, des dimensions qui ne peuvent croître sans qu’elle change de nature. » 4. Le principe de rupture asignifiante répond à l’autorégulation biologique du rhizome. Lorsqu’il est coupé à un endroit quelconque, le rhizome repart dans la même direction, mais aussi prolifère selon d’autres directions. 5. Le principe de cartographie fait du rhizome une carte. Il est tenu à distance des modèles linguistiques : « un rhizome n’est justiciable d’aucun modèle structural ou génératif. Il est étranger à toute idée d’axe génétique, comme de structure profonde. » 6. Enfin, le principe de décalcomanie pose que le rhizome n’est pas un calque, mais une carte. « Une carte a des entrées multiples, contrairement au calque qui revient toujours “au même”. » Dans le livre que Deleuze consacre à Foucault, l’idée de diagramme disciplinaire est le lieu sur lequel Deleuze projette le travail de Foucault. Il diagrammatise plus que Foucault lui-même les dispositifs de la microphysique du pouvoir. Dans le diagramme qu’il donne de l’œuvre de Foucault (fig. 46), on retrouve les grandes topiques deleuziennes : la ligne de partage où s’effectue la conversion du lointain et du proche, délimitant un espace du dedans sur lequel la pensée rétrocède les propriétés du dehors, les strates qui stabilisent l’espace diagrammatique instable et mouvant et assurent le passage et l’ancrage au dedans, la conversion de la substance en objet stratifié, le pli qui délimite la zone de subjectivation qui partage les strates du monde donc du savoir en deux domaines, ceux des « tableaux visuels » et des « courbes sonores. »
Résultats obtenus à l'aide de Wolfram Mathematica 8 : Utilisant la théorie des graphes et les bibliothèques correspondantes, nous cherchons à modéliser notre problématique de texture prétopologique dans les précatégories. En effet à partir du moment où les foncteurs peuvent être homo, hétéro ou andromorphiques, il nous faut considérer des relations transitives et non-transitives en même temps (graphe et diagramme à flèches uni-orientées ou orientées symétriquement ou orientées parallèlement). Ainsi nous visualisons deux graphes de noeuds et arrêtes directionnelles en détectant le voisinage et montant l'appartenance des noeuds et arrêtes aux ensembles particuliers prétopologiques (liaisons intérieur en rouge, semi-frontière intérieure en vert, semi-frontière extérieure en bleu, extérieur en jaune, noeuds intérieur en magenta, semi-frontière intérieure en vert, semi-frontière extérieure en bleu, extérieur en jaune). Premier sous-ensemble A (ou premier graphe1) : 5 noeuds et 10 liaisons Deuxième sous-ensemble B (ou graphe2) : 5 noeuds et 10 liaisons Et superposons les deux ensembles pour former un ensemble X (Graphe3= Graphe1 + Graphe2)
Pour que cet ensemble X soit un espace topologique, il nous faut chercher sans fermeture transitive. En fait cette fermeture transitive est un sous-ensemble de l'ensemble X qui a également ses propre sous-ensembles prétopologiques particuliers Ainsi la fermeture transitive peut être une limite, un bord, une convergence topologique, mais, également dans la struture, un sous-ensemble comme les autres sous-ensembles qui forment une espace prétopologique. Dans un graphe structurel voulant représenter les sous-ensembles d'un ensemble, lui même sous-ensemble d'un ensemble, etc et dont chaque intérieur possède des sous-ensembles, il est préférable de décomposer les noeuds intérieur, semi-frontière intérieure, semi-frontière extérieure, et extérieur en mini-chaine come le montre le schéma suivant. Trois niveaux d'ensemble
PolyAgogie Musicale
Recherche d'un cycle hamiltonien dans le graphe d'un cube pour une expression sérielle ou tous les noeuds (ou notes) sont équiprobables. Combinatoire et permutation de chaque noeud est possible pour une expression topologique.
Combinatoire,
triangle de pascal, triangle dans la n-ième dimension ==> TOPOLOGIE, Conclusion Partant des structures algébriques et topologiques en Théorie des Catégories, il est intéressant d'ouvrir les structures topologiques à la prétopologie d'Alexander Grothendieck puis de Marcel Brissaud du groupe Belmandt et Pretopologics (issus de Fréchet 1928), pour s'apercevoir d'une part que tout est fondé sur l'homomorphisme et la transitivité, et d'autre part qu'il existe dans des travaux parallèles de l'auteur depuis 1967 des notions de « trans-combinaison » et de « prétopologie » dès 1971, qui parle de non-transitivité et d'hétéromorphisme voire d'andromorphisme pour introduire les textures prétopologiques (sonores et visuelles au départ, puis généralisées) et les texturologies quantiques prétopologiques dans une théorie des PréCatégories hétéro et andromorphique non transitive où la catégorie des incomplétudes (ou fermetures transitives) devient un facteur d'émergences texturologiques propice à la recherche d'esthétiques musicales et visuelles voire du Design du concept multimédia par le moteur sémantique du PolyAgogic CyberSpace (suite du SILOCoMuVi conçu par l'auteur devenu UPIC pour Iannis Xenakis en 1976). Une façon peut être d'ajouter au "théorème du sanswich au jambon" d'Hugo SteinHaus repris par Stephan Banach (1938), le "théorème de la soupe de légumes" (PSJ, 2012) pour ne plus avoir peur du mélange, de l'amalgame, des co-polymères et des dissonances.Cet exposé n'étant pas topologique son incomplétude nécessite une suite et induise de nouvelles découvertes d'espaces et de nouvelles connexions entre-eux. Références bibliographiques :
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